Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [27]

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:[\alpha,\beta] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο, $\alpha \ne \beta \ne 0$, $f(\alpha) = \beta$ και $f'(x) < 0$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$.

A) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$}

B) Αν η $f^{-1}$ είναι συνεχής και ισχύει 

$\int_{f(\alpha)}^{f(\beta)} f^{-1}(t)dt + \int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt = 0$}

τότε:

i) Να βρεθεί το $f(\beta)$

ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0 \in (\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $A(x_0, f(x_0))$ να είναι κάθετη στην ευθεία 

$(\epsilon_1): x - y + 2025 = 0$

Γ) Να αποδείξετε ότι 

i) υπάρχει μοναδικό $\xi \in (\alpha,\beta)$, τέτοιο ώστε 

$f(\xi) = \xi$.

ii) Υπάρχουν $\xi_1, \xi_2 \in (\alpha,\beta)$ τέτοια ώστε 

$f'(\xi_1)f'(\xi_2) = 1$.