Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού: Η Μαθηματική Σχέση Ανάμεσα στην Κλίση και το Εμβαδόν

Ο λογισμός κρύβει μερικές από τις πιο εντυπωσιακές και παράξενες ιδέες των μαθηματικών. Στο εισαγωγικό μάθημα, υπάρχουν ουσιαστικά δύο βασικές ιδέες: οι $\textbf{παραγωγίσιμες συναρτήσεις}$ (παράγωγοι) και τα $\textbf{ολοκληρώματα}$.

Μπορούμε να πούμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένας τρόπος να περιγράψουμε την κλίση (ρυθμό μεταβολής) της σε διάφορα σημεία. Ωραία μέχρι εδώ. 

Όσον αφορά τα ολοκληρώματα, αυτά αντιπροσωπεύουν ουσιαστικά το $\textbf{εμβαδόν κάτω από την καμπύλη}$ της συνάρτησης. Πολύ ωραία. 

Τώρα έρχεται το παράξενο σημείο. Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη είναι, κατά κάποιο τρόπο, το αντίθετο της κλίσης. Εντάξει, αυτό δεν είναι απολύτως ακριβές — αλλά το $\textbf{ολοκλήρωμα είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης}$. 

Δηλαδή, αν πάρεις μια συνάρτηση, υπολογίσεις την παράγωγό της και μετά ολοκληρώσεις το αποτέλεσμα, επιστρέφεις στην αρχική συνάρτηση (τουλάχιστον υπό προϋποθέσεις). 

Αυτό σημαίνει ότι, για να υπολογίσεις ένα ολοκλήρωμα, μπορείς απλώς να σκεφτείς «πώς να αναιρέσω μια παράγωγο». Αντί να προσπαθείς να υπολογίσεις το εμβαδόν με άπειρες προσθέσεις, είναι πολύ πιο αποτελεσματικό να σκεφτείς το ολοκλήρωμα ως "αντιστροφή" της παραγώγου. Αυτό είναι το $\textbf{Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού}$. 

Μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:

Αν έχεις μια συνάρτηση \( f(x) \), και ορίζεις μια νέα συνάρτηση: \[ g(x) = \int_a^x f(t)\,dt \] τότε ισχύει: \[ g'(x) = f(x) \] Αυτό μπορεί να σου φαίνεται περίεργο, οπότε ας το εξηγήσουμε. 

Έστω ότι έχουμε κάποια συνάρτηση \( f(t) \). Αν την ολοκληρώσουμε από ένα σταθερό σημείο \( a \) έως ένα μεταβλητό άκρο \( x \), τότε το αποτέλεσμα εξαρτάται από το \( x \) — δηλαδή είναι μια νέα συνάρτηση, η \( g(x) \). 

Αν τώρα πάρουμε την παράγωγο της \( g(x) \) ως προς \( x \), παίρνουμε πίσω τη συνάρτηση \( f(x) \). Με άλλα λόγια, η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι η αρχική συνάρτηση.