Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool [6]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι:

• $f(0) = -2$
• $f'(x) = xf^2(x)$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$

i. Να δείξετε ότι $f(x) = \dfrac{-2}{x^2+1}$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$

ii. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

iii. Έστω $F$ μια αρχική συνάρτηση της $f$ στο $\mathbb{R}$.

α. Να δείξετε ότι η $F$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Υπάρχει σημείο τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της $F$ να δέχεται οριζόντια εφαπτομένη;

β. Να εξηγήσετε γιατί η $F$ αντιστρέφεται και να δείξετε ότι η $F^{-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα.

γ. Να μελετήσετε την $F$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

iv. Να δείξετε ότι 

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx > 2(\alpha - \beta)$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha < \beta$

v. Θεωρούμε τη συνάρτηση 

$\varphi(x) = f(x) \sigmaυν x$, $x \in \mathbb{R}$

Να δείξετε ότι: 

α) Η $\varphi$ είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$

β. Ισχύει ότι 

$\int_{-\alpha}^{\alpha} \varphi(x) dx = 2 \int_{0}^{\alpha} \varphi(x) dx$

για κάθε $\alpha \in \mathbb{R}^*$.