Πέμπτη 15 Μαΐου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool [6]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι:
  • $f(0) = -2$
  • $f'(x) = xf^2(x)$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$
i. Να δείξετε ότι $f(x) = \dfrac{-2}{x^2+1}$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$
ii. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
iii. Έστω $F$ μια αρχική συνάρτηση της $f$ στο $\mathbb{R}$.
α. Να δείξετε ότι η $F$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Υπάρχει σημείο τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της $F$ να δέχεται οριζόντια εφαπτομένη;
β. Να εξηγήσετε γιατί η $F$ αντιστρέφεται και να δείξετε ότι η $F^{-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα.
γ. Να μελετήσετε την $F$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
iv. Να δείξετε ότι 
$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx > 2(\alpha - \beta)$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha < \beta$
v. Θεωρούμε τη συνάρτηση 
$\varphi(x) = f(x) \sigmaυν x$, $x \in \mathbb{R}$
Να δείξετε ότι: 
α) Η $\varphi$ είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$
β. Ισχύει ότι 
$\int_{-\alpha}^{\alpha} \varphi(x) dx = 2 \int_{0}^{\alpha} \varphi(x) dx$
για κάθε $\alpha \in \mathbb{R}^*$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

>