\[ \sqrt{x} = 1 + \frac{x - 1}{1 + \sqrt{x}} \] Από αυτή την ταυτότητα, μπορούμε να οδηγηθούμε σε ένα γενικευμένο αναδρομικό σχήμα: \[ \sqrt{x} = 1 + \cfrac{x - 1}{2 + \cfrac{x - 1}{2 + \cfrac{x - 1}{2 + \ddots}}} \] 
Η παραπάνω αναπαράσταση είναι ένα άπειρο συνεχές κλάσμα που συγκλίνει στην τιμή της τετραγωνικής ρίζας του \(x\), για κάθε \(x > 0\). Είναι εντυπωσιακό πώς μια τόσο απλή αλγεβρική σχέση μπορεί να γεννήσει μια τόσο πλούσια και συμμετρική μορφή.
---
Για \(x = 2\), έχουμε: \[ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}} \] που είναι ένα από τα πιο διάσημα συνεχή κλάσματα στην ιστορία των μαθηματικών!
---
$\textbf{Γνωρίζατε ότι;}$
Οι αναπαραστάσεις ριζών με συνεχή κλάσματα έχουν εφαρμογές στη θεωρία αριθμών και στην αριθμητική προσέγγιση πραγματικών αριθμών με ρητούς.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου