Μπορείς να φανταστείς ότι μια απλή σειρά με περιττούς αριθμούς οδηγεί… στο περίφημο \( \pi \); Ένας από τους πιο κομψούς και εντυπωσιακούς τρόπους να εκφράσουμε τον αριθμό \( \pi \) εμφανίζεται σε μια μαθηματική σειρά που ανέλυσε ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός $\textbf{Gottfried Wilhelm Leibniz}$: \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \] 
Αυτή είναι η $\textbf{σειρά του Leibniz}$, μια άπειρη εναλλασσόμενη σειρά, στην οποία εμφανίζονται όλοι οι περιττοί αριθμοί ως παρονομαστές, με εναλλασσόμενα πρόσημα.
$\textbf{Γιατί λειτουργεί;}$
Η σειρά προκύπτει από την ανάπτυξη σε σειρά Taylor της συνάρτησης \( \arctan(x) \), για τιμές \( |x| \le 1 \): \[ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \] Αν θέσουμε \( x = 1 \), τότε: \[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] Και έτσι παίρνουμε: \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου