Ένας από τους πρώτους κανόνες που μαθαίνεις στη γεωμετρία στο σχολείο είναι ότι οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται πάντα σε 180 μοίρες. Αλλά, παρά ό,τι μπορεί να σου είπε ο δάσκαλος ή η δασκάλα σου, αυτό δεν είναι πάντα αλήθεια!
Χρειάστηκαν αιώνες στους μαθηματικούς για να κατανοήσουν το γιατί. Και, όπως διαπιστώσαμε σε μια πρόσφατη εκδήλωση, η ιστορία της γεωμετρίας δείχνει πώς οι εξελίξεις στα μαθηματικά έχουν αλλάξει θεμελιωδώς τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο γύρω μας.
Το ενοχλητικό αξίωμα των παραλλήλων
Επισήμως, η ιστορία της γεωμετρίας αρχίζει με τον μαθηματικό Ευκλείδη, που έζησε στην Αίγυπτο γύρω στο 300 π.Χ. Ο Ευκλείδης έγραψε τα Στοιχεία, ένα βιβλίο που περιλάμβανε πέντε κανόνες (τους οποίους οι μαθηματικοί αποκαλούν αξιώματα) πάνω στους οποίους, σύμφωνα με εκείνον, έπρεπε να οικοδομηθεί ολόκληρη η γεωμετρία. Πρόκειται για δηλώσεις τόσο προφανείς, ώστε θα έπρεπε όλοι να τις αποδέχονται χωρίς περαιτέρω απόδειξη.
Ο κανόνας που λέει ότι οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται σε 180° είναι ουσιαστικά μια συνέπεια του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη. Η αρχική του διατύπωση ήταν πιο περίπλοκη:
«Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες σχηματίζοντας στην ίδια πλευρά γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές (180°), τότε αυτές οι δύο ευθείες, αν επεκταθούν επ’ άπειρον, θα συναντηθούν από την πλευρά όπου το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές.»
Αυτό είναι το λεγόμενο αξίωμα των παραλλήλων. Αν δύο ευθείες δεν τέμνονται, τότε λέγονται παράλληλες. Το πέμπτο αξίωμα μάς λέει ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες αν τέμνονται από μια τρίτη ευθεία με κάθετες γωνίες. Από αυτό, μπορεί να αποδειχθεί (με αρκετή δουλειά) ότι οι γωνίες ενός τριγώνου προσθέτουν 180 μοίρες – όσο βρισκόμαστε σε επίπεδη επιφάνεια.
Αλλά αυτό το πέμπτο αξίωμα δημιούργησε πολλές δυσκολίες. Όπως είπε ο ιστορικός των μαθηματικών Jeremy Gray:
«Το αξίωμα των παραλλήλων προκάλεσε πολλά προβλήματα. Πώς να μιλήσεις με σιγουριά για ένα σημείο τομής που μπορεί να είναι… δισεκατομμύρια μίλια μακριά;»
Κι έτσι, πολλοί μαθηματικοί πίστεψαν ότι το πέμπτο αξίωμα δεν ήταν τόσο αυτονόητο όσο τα υπόλοιπα τέσσερα – και προσπάθησαν να το αποδείξουν από αυτά. Αλλά απέτυχαν.
Η απάντηση βρίσκεται… κάτω από τα πόδια σου
Η αιτία της αποτυχίας ήταν βαθύτερη: το αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι πάντα αληθές. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου τα πρώτα τέσσερα αξιώματα ισχύουν, αλλά το πέμπτο όχι.
Ο λόγος είναι ότι τα αξιώματα του Ευκλείδη αφορούν ένα επίπεδο – και όχι την καμπύλη επιφάνεια του κόσμου που ζούμε. Η επιφάνεια της Γης είναι σφαιρική (ή περίπου σφαιρική), και σε αυτή η ευκλείδεια γεωμετρία αποτυγχάνει.
Φανταστείτε ότι στέκεστε στον Ισημερινό, ανάμεσα σε δύο μεσημβρινούς. Αυτοί οι τρεις κύκλοι (ο Ισημερινός και οι δύο μεσημβρινοί) είναι μέγιστοι κύκλοι – ισοδύναμοι με τις ευθείες στο επίπεδο. Αλλά οι μεσημβρινοί, παρότι τέμνουν τον Ισημερινό κάθετα, συναντιούνται στους πόλους. Άρα δεν είναι παράλληλοι!
Σε μια τέτοια σφαιρική γεωμετρία, τα τρίγωνα σχηματίζονται από τόξα μέγιστων κύκλων και έχουν άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Όσο μεγαλύτερο είναι το τρίγωνο, τόσο μεγαλύτερο το άθροισμα. Για μικρές περιοχές (π.χ. μέσα σε μια πόλη), η διαφορά είναι ανεπαίσθητη.
Αυτός είναι ο λόγος που κάθε χαρτογράφηση της Γης σε επίπεδο χαρτί είναι αναγκαστικά παραμορφωμένη. Η πιο γνωστή προβολή, η Mercator, παρουσιάζει σωστά τις περιοχές κοντά στον Ισημερινό αλλά υπερβάλλει στα μεγέθη κοντά στους πόλους – παρουσιάζοντας π.χ. τη Γροιλανδία πολύ μεγαλύτερη από την Αφρική.
Αγώνας ενάντια στο σκοτάδι
Αν η σφαιρική γεωμετρία μοιάζει φυσιολογική (και μπορεί να σχεδιαστεί πάνω σε ένα πορτοκάλι!), υπάρχει μια ακόμα πιο εξωτική γεωμετρία: η υπερβολική γεωμετρία.
Ο Jeremy Gray, σε εκδήλωση του Ινστιτούτου Μαθηματικών Isaac Newton, παρουσίασε την ιστορία της γεωμετρίας ως παράδειγμα του πώς τα μαθηματικά επηρεάζουν την κατανόησή μας για τον κόσμο. Όπως είπε:
«Η ιστορία των μαθηματικών βοηθά στο να κατανοήσουμε όχι μόνο τα ίδια τα μαθηματικά αλλά και τις επιστήμες, τη φυσική, ακόμα και τη λογοτεχνία.»
Η υπερβολική γεωμετρία ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα από δύο μαθηματικούς του 19ου αιώνα: τον Ούγγρο János Bolyai και τον Ρώσο Nikolai Lobachevskii. Προσπάθησαν να αποδείξουν το πέμπτο αξίωμα με έμμεσο τρόπο: να υποθέσουν ότι είναι ψευδές και να οδηγηθούν σε αντίφαση. Αλλά η γεωμετρία που προέκυπτε δεν είχε αντιφάσεις – είχε απλώς διαφορετικούς κανόνες. Έτσι γεννήθηκε η υπερβολική γεωμετρία, όπου το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°.
Παράξενες νέες διαστάσεις
Αλλά πώς μοιάζει μια υπερβολική επιφάνεια; Είναι δύσκολο να τη φανταστεί κανείς. Ένα παράδειγμα είναι ένα φύλλο kale που γίνεται όλο και πιο τσαλακωμένο προς τις άκρες. Ένα μυρμήγκι που ζει εκεί ακολουθεί τις πιο σύντομες διαδρομές (τις γεωδαισιακές).
Αν προσπαθήσουμε να ισιώσουμε αυτή την επιφάνεια (χωρίς να συνθλίψουμε το μυρμήγκι!), τότε οι «ευθείες» του χώρου μετατρέπονται σε καμπύλες στο επίπεδο. Έτσι προκύπτουν χαρτογραφήσεις του υπερβολικού χώρου – όπως ο κύκλος Poincaré όπου τρίγωνα φαίνονται όλο και μικρότερα όσο πλησιάζουν στα όρια. Στην πραγματικότητα, όλα έχουν το ίδιο μέγεθος, αλλά φαίνονται συρρικνωμένα λόγω παραμόρφωσης.
Σε αντίθεση με τη σφαίρα (που χρειάζεται «τέντωμα» για να απεικονιστεί επίπεδα), ο υπερβολικός χώρος έχει υπερβολικά πολύ «υλικό». Γι' αυτό, όταν τον απεικονίζουμε, πρέπει να συμπιέσουμε τα πάντα.
Η υπερβολική γεωμετρία δεν περιορίζεται στις δύο διαστάσεις. Υπάρχουν τρεις διαστάσεις υπερβολικού χώρου, ακόμα και περισσότερες. Όχι τυχαία, ο Bolyai έγραφε:
«Ανακάλυψα πράγματα τόσο υπέροχα που με καταπλήσσουν. Δεν μπορώ να πω περισσότερα… φοβάμαι μήπως χαθεί ο κόσμος από αυτή την αλήθεια!»
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου