📐 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο τομής δύο ευθειών;

Πώς βρίσκουμε την εξίσωση κάθε ευθείας που περνά από το σημείο τομής δύο ευθειών;

---

Έστω ότι δίνονται δύο μη παράλληλες ευθείες:

$$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \quad \text{(ευθεία 1)} \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \quad \text{(ευθεία 2)} \end{cases}$$​Αυτές τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο, το $(x_0, y_0)$, αφού δεν είναι παράλληλες.

---

🧠 Ερώτηση:

Ποια είναι η γενική εξίσωση κάθε ευθείας που περνά από το σημείο $(x_0, y_0)$;

---

✍️ Απόδειξη:

Αφού οι ευθείες τέμνονται στο σημείο $(x_0, y_0)$, τότε:

$$\begin{cases} A_1x_0 + B_1y_0 + C_1 = 0 \\ A_2x_0 + B_2y_0 + C_2 = 0 \end{cases}$$

Κάθε ευθεία που περνά από αυτό το σημείο μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των δύο αρχικών ευθειών:

$$L(x, y) = (A_1x + B_1y + C_1) + k(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{για κάποιο } k \in \mathbb{R}$$για κάποιο k ∈ R.
Εναλλακτικά: $$L(x, y) = A_1x + B_1y + C_1 + k(A_2x + B_2y + C_2) = 0$$

Αυτό είναι όντως εξίσωση ευθείας, και επειδή και οι δύο όροι μηδενίζονται στο $(x_0, y_0)$, ισχύει:

$$L(x_0, y_0) = 0$$

Άρα, η ευθεία αυτή περνά από το σημείο τομής!

---

✅ Συμπέρασμα:

Κάθε ευθεία που περνά από το σημείο τομής δύο μη παραλλήλων ευθειών έχει τη μορφή:

$$A_1x + B_1y + C_1 + k(A_2x + B_2y + C_2) = 0$$

για κάποιον πραγματικό αριθμό $k$.