🧠 Ποιος είπε ότι μια ταυτότητα δεν μπορεί να αποδειχθεί απλά με αντικατάσταση;

 Απόδειξη Ταυτότητας με Απλή Αντικατάσταση: Μπορεί να Γίνει;

---

Πολλοί πιστεύουν ότι για να αποδείξεις μια αλγεβρική ταυτότητα, πρέπει να κάνεις εκτενή ανάπτυξη ή επιμελή παραγοντοποίηση.

❓Αλλά τι θα γινόταν αν μπορούσες να την αποδείξεις… απλά δοκιμάζοντας μερικές τιμές του $x$;

Ας δούμε το παράδειγμα:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

---

🔍 Βήμα 1: Ορίζουμε τη διαφορά των δύο πλευρών

Θέτουμε:

$$p(x)=x^3-1-(x-1)(x^2+x+1)$$

Αν η ταυτότητα ισχύει, τότε το $p(x)$ πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν — δηλαδή, να μηδενίζεται για κάθε $x$.

---

🧪 Βήμα 2: Δοκιμάζουμε Τιμές

$$\begin{align*} p(0) &= 0^3 - 1 - (-1)(1) = -1 + 1 = 0 \\ p(1) &= 1^3 - 1 - (0)(3) = 0 \\ p(2) &= 8 - 1 - (1)(7) = 7 - 7 = 0 \\ p(3) &= 27 - 1 - (2)(13) = 26 - 26 = 0 \end{align*}$$

Μέχρι τώρα, όλα τα $p(x)$ βγήκαν 0!

---

📐 Βήμα 3: Τι σημαίνει αυτό;

Το πολύωνυμο $p(x)$ είναι βαθμού 3, αλλά μηδενίζεται σε 4 διαφορετικά σημεία.

👉 Σύμφωνα με βασικό θεώρημα της Άλγεβρας, αν ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει περισσότερες από $n$ ρίζες, τότε είναι το μηδενικό πολυώνυμο:

$$\Rightarrow p(x)\equiv 0$$

---

✅ Συμπέρασμα:

Η ταυτότητα:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

αποδεικνύεται πλήρως μόνο με αριθμητικές αντικαταστάσεις, χάρη στην ιδιότητα των πολυωνύμων!