📉 Μια ακολουθία που ανεβαίνει… μέχρι να πέσει!

📐 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος όρος της ακολουθίας

$\sqrt{2},\quad \sqrt[3]{3},\quad \sqrt[4]{4},\quad \sqrt[5]{5},\quad \sqrt[6]{6},\quad \sqrt[7]{7},\quad \dots$

ή αλλιώς

$2^{1/2},\quad 3^{1/3},\quad 4^{1/4},\quad 5^{1/5},\quad 6^{1/6}\quad \dots$

Κι όμως, η απάντηση είναι το… 3³!

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην ακολουθία:

$a_n = n^{1/n}$

📈 Όσο αυξάνεται το $n$, η δύναμη $1\mathrm{/}n$ γίνεται όλο και μικρότερη. Αλλά υπάρχει ένα εκπληκτικό σημείο ισορροπίας:

Για τα πρώτα ακέραια $n$, η τιμή του $n^{1/n}$ αυξάνεται μέχρι το $n=3$, και έπειτα μειώνεται!

🎯 Μέγιστο της ακολουθίας:

$a_3 = 3^{1/3} \approx 1.4422$

Καμία άλλη τιμή της ακολουθίας δεν είναι μεγαλύτερη από αυτή.

Όσο κι αν μεγαλώνουμε το $n$, η τιμή $n^{1/n}$ ποτέ δεν ξεπερνά το 3³!

---

🧠 Γιατί συμβαίνει αυτό;

Μπορούμε να το διαπιστώσουμε με λίγο υπολογισμό ή ακόμα και με παράγωγο αν θέλουμε πιο βαθιά ανάλυση:

Η συνάρτηση $f(n) = n^{1/n}$ έχει μέγιστο στο $n = e \approx 2.718$$, άρα ο πλησιέστερος ακέραιος είναι το 3, που δίνει το μέγιστο στην ακολουθία μας.