Απλοποίηση Ριζών με Συμπλήρωση Τετραγώνου

Γνωρίζατε ότι πολλές σύνθετες ρίζες μπορούν να απλοποιηθούν με τη βοήθεια της μεθόδου της συμπλήρωσης τετραγώνου;

H έκφραση $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$ φαίνεται δύσκολη, αλλά με τη σωστή τεχνική απλοποιείται σε μια πολύ απλή μορφή.

🔍 Η Γενική Ταυτότητα

Για δύο θετικούς αριθμούς x και y, με x > y, ισχύει:

$\sqrt{x+y ±2 \sqrt{xy}} = \sqrt{x} ± \sqrt{y}$

Αυτό προκύπτει από την ταυτότητα:

$(\sqrt{x} ± \sqrt{y})^2 = x+y ±2 \sqrt{xy}$

🧮 Παράδειγμα: Απλοποίηση της $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$

Θέλουμε να βρούμε δύο ρίζες $\sqrt{a}$ και $\sqrt{b}$ τέτοιες ώστε: 

  $\sqrt{5+2 \sqrt{6}} =\sqrt{a} + \sqrt{b}$

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές στο τετράγωνο:

• $5+2 \sqrt{6} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$

Συνεπώς:

• $a + b = 5$
• $ab = 6$

Οι αριθμοί που έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 6 είναι: 2 και 3.

Άρα:

$\sqrt{5+2 \sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.