📌 Πόσοι Πρώτοι Αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 𝑛;

Μία από τις πιο κομψές και εκπληκτικές ανακαλύψεις της Θεωρίας Αριθμών είναι ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων ενός θετικού πραγματικού αριθμού n συμβολίζεται με π(n) και προσεγγίζεται από τον τύπο:

$$\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n}$$

Αυτός ο τύπος μας δείχνει πόσο αραιά εμφανίζονται οι πρώτοι αριθμοί όσο το $n$ μεγαλώνει.

🔍 Για παράδειγμα:

– Μέχρι το 10 υπάρχουν 4 πρώτοι (2, 3, 5, 7).
– Μέχρι το 100 υπάρχουν 25 πρώτοι.

– Μέχρι το 1.000 υπάρχουν 168 πρώτοι.
– Μέχρι το 10.000 υπάρχουν 1.229 πρώτοι.

Η προσέγγιση $n/\ln n$ δίνει αποτελέσματα που πλησιάζουν πολύ αυτούς τους αριθμούς, ειδικά για μεγάλα $n$.

📜 Το θεώρημα αυτό, γνωστό ως Θεώρημα Κατανομής των Πρώτων Αριθμών, αποδείχθηκε το 1896 από τους Jacques Hadamard και Charles de la Vallée-Poussin χρησιμοποιώντας εργαλεία από την μιγαδική ανάλυση και τη συνάρτηση ζήτα του Riemann.

🔢 Όσο μεγαλύτερο το $n$, τόσο καλύτερα λειτουργεί η προσέγγιση!