Σάββατο 21 Ιουνίου 2025

📌 Πόσοι Πρώτοι Αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 𝑛;

Μία από τις πιο κομψές και εκπληκτικές ανακαλύψεις της Θεωρίας Αριθμών είναι ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων ενός θετικού πραγματικού αριθμού n συμβολίζεται με π(n) και προσεγγίζεται από τον τύπο:

π(n)nlnn\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n}


Αυτός ο τύπος μας δείχνει πόσο αραιά εμφανίζονται οι πρώτοι αριθμοί όσο το nn μεγαλώνει.

🔍 Για παράδειγμα:

– Μέχρι το 10 υπάρχουν 4 πρώτοι (2, 3, 5, 7).
– Μέχρι το 100 υπάρχουν 25 πρώτοι.


– Μέχρι το 1.000 υπάρχουν 168 πρώτοι.
– Μέχρι το 10.000 υπάρχουν 1.229 πρώτοι.

Η προσέγγιση n/lnnn/\ln n δίνει αποτελέσματα που πλησιάζουν πολύ αυτούς τους αριθμούς, ειδικά για μεγάλα nn.

📜 Το θεώρημα αυτό, γνωστό ως Θεώρημα Κατανομής των Πρώτων Αριθμών, αποδείχθηκε το 1896 από τους Jacques Hadamard και Charles de la Vallée-Poussin χρησιμοποιώντας εργαλεία από την μιγαδική ανάλυση και τη συνάρτηση ζήτα του Riemann.

🔢 Όσο μεγαλύτερο το nn, τόσο καλύτερα λειτουργεί η προσέγγιση! 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

>