🌀 Ποια είναι τελικά η τιμή του $\sqrt{(-1)^3}$ ; Η έκφραση που διχάζει μαθητές και μαθηματικούς!

Ποια είναι η τιμή του $\sqrt{(-1)^3}$; Μια παγίδα στους μιγαδικούς αριθμούς

---

❓Το Παράδοξο

Πολλοί μαθητές —αλλά και φοιτητές— μπερδεύονται με την έκφραση:

$\sqrt{(-1)^3}$

Κάποιοι υπολογίζουν:

• $\sqrt{(-1)^3}=(-1)^{\frac{3}{2}} = ((-1)^3)^{\frac{1}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1} = i$

Άλλοι σκέφτονται:

• $\sqrt{(-1)^3}=(−1)^{\frac{3}{2}}=((−1)^{\frac{1}{2}})^3=(\sqrt{-1})^3=i^3=−i$

Και τότε γεννιέται η απορία:
🧠 Ποιο είναι το σωστό;

---

⚠️ Η Παγίδα στους Μιγαδικούς

Η αλήθεια είναι ότι και οι δύο υπολογισμοί είναι σωστοί, αλλά οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα!

Αυτό οφείλεται στο ότι στους μιγαδικούς αριθμούς, η ρίζα δεν είναι μοναδική.

Για παράδειγμα:

$−1=i$ και ταυτόχρονα $−1=−i$

Οι δύο αριθμοί $i$ και $-i$ είναι και οι δύο έγκυρες τετραγωνικές ρίζες του -1.

---

✅ Το Σωστό Συμπέρασμα

Η έκφραση:

$\sqrt{(-1)^3}$

έχει δύο σωστές τιμές:

$\sqrt{(-1)^3}=(-1)^{3/2} = i$ ή $-i$

Στους μιγαδικούς αριθμούς, εκφράσεις με ρίζες έχουν πολλαπλές λύσεις — και όχι μία όπως έχουμε συνηθίσει στους πραγματικούς αριθμούς.

---

🧩 Προσοχή: Δεν ισχύει πάντα $(a^m)^n = a^{mn}$

Στους πραγματικούς αριθμούς αυτή η ιδιότητα είναι πάντα έγκυρη.

Αλλά στους μιγαδικούς, μπορεί να οδηγήσει σε λάθη, γιατί η επιλογή της “κατάλληλης” ρίζας δεν είναι μοναδική.

---

📘 Τι να θυμάσαι

• Αν βλέπεις εκθέτες με ρίζες σε μιγαδικούς, μην περιμένεις μοναδική απάντηση.

• Οι ρίζες μιγαδικών αριθμών έχουν πολλαπλές τιμές.

• Πάντα να εξετάζεις όλες τις πιθανές λύσεις, ειδικά σε εξισώσεις.