Ένα ωραίο προβλημα Άλγεβρας από την Κινέζικη Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023

Ορίζουμε ακολουθίες θετικών πραγματικών αριθμών $\{a_n\}$ και $\{b_n\}$ τέτοιες ώστε για κάθε θετικό ακέραιο $n$: $$a_{n+1} = a_n - \frac{1}{1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}$$ $$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{b_i}}$$

 

Ερωτήσεις:

1. Αν $a_{100}b_{100} = a_{101}b_{101}$, βρείτε την τιμή του $a_1 - b_1$.
2. Αν $a_{100} = b_{99}$, προσδιορίστε ποια από τις ποσότητες $a_{100} + b_{100}$ ή $a_{101} + b_{101}$ είναι μεγαλύτερη.