Ένας Κομψός Αλγεβρικός Τρόπος για να Δείξουμε ότι ax+by+cz=0

Ένας απλός και κομψός τρόπος για να αποδείξουμε ότι η έκφραση

$$ax+by+cz=0$$

μπορεί να μηδενιστεί, χωρίς περίπλοκους αλγεβρικούς χειρισμούς, αλλά βασισμένοι σε μια έξυπνη υπόθεση αναλογίας.

---

🔍 Η βασική ιδέα

Αν γνωρίζουμε ή υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές x,y,z σχετίζονται αναλογικά, τότε μπορούμε να τις γράψουμε ως:

$$x=k_{1}t,y=k_{2}t,z=k_{3}t$$

όπου $k_1, k_2, k_3$ είναι σταθεροί συντελεστές και $t$ ένας κοινός παράγοντας.

---

➗ Υποκατάσταση στην εξίσωση

Αντικαθιστούμε στην αρχική έκφραση:

$$ax+by+cz=a(k_{1}t)+b(k_{2}t)+c(k_{3}t)=t(a{k}_1+b{k}_2+c{k}_3)$$

Τώρα, το μόνο που χρειάζεται για να ισχύει ότι $ax + by + cz = 0$, είναι:

$$a{k}_1+b{k}_2+c{k}_3=0$$

---

✅ Τι καταφέραμε

Χωρίς να κάνουμε καμία δύσκολη πράξη με $x, y, z$, μετατρέψαμε το πρόβλημα σε μια αλγεβρική σχέση μεταξύ των συντελεστών $a, b, c$ και των αριθμών $k_1, k_2, k_3$. Αν αυτή η σχέση επαληθεύεται, τότε η αρχική εξίσωση είναι μηδέν για κάθε τιμή του $t$.

---

🧠 Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε:

• $a = 2,\quad b = -3,\quad c = 1$
  

• $x = 3t,\quad y = 2t,\quad z = t$
  

Τότε:

$$ax+by+cz=2(3t)+(-3)(2t)+1(t)=6t-6t+t=t$$

➡️ Δεν είναι μηδέν. Άρα η σχέση $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 6 - 6 + 1 = 1 \neq 0$ δεν επαληθεύεται.

Αν όμως διαλέξουμε:

• $x=3t,y=2t,z=-t$

Τότε:

$$ax+by+cz=2(3t)+(-3)(2t)+1(-t)=6t-6t-t=-t$$

Και ακόμα δεν είναι μηδέν… αλλά αν επιλέξουμε $z = 0$, τότε:

$$ax+by+cz=6t-6t+0=0$$

---

💡 Τι μας δείχνει αυτό;

Η ιδέα λειτουργεί σαν shortcut: μας λέει πότε μπορούμε να φτιάξουμε μεταβλητές $x, y, z$

$x,y,z$ που να μηδενίζουν τη γραμμική συνάρτηση, απλώς και μόνο με έλεγχο των συντελεστών και μιας κοινής αναλογίας.