Τύπος Black-Scholes: Εισαγωγή στην πιο διάσημη εξίσωση στα χρηματοοικονομικά

Το μοντέλο Black-Scholes είναι ένα από τα πιο σημαντικά μαθηματικά εργαλεία στα χρηματοοικονομικά, ειδικά για την τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης (options).

Τι είναι το μοντέλο Black-Scholes;

• Είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει πώς μεταβάλλεται η τιμή ενός χρηματοοικονομικού μέσου που εξαρτάται από την τιμή ενός άλλου (το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο, π.χ. μια μετοχή).

• Αναπτύχθηκε το 1973 από τους Fisher Black, Myron Scholes και Robert Merton.

• Χρησιμοποιείται κυρίως για την εκτίμηση της θεωρητικής τιμής των options, δηλαδή δικαιωμάτων προαίρεσης αγοράς ή πώλησης μετοχών.

Βασική ιδέα

Το μοντέλο υποθέτει ότι μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα επενδυτικό χαρτοφυλάκιο που περιλαμβάνει το δικαίωμα προαίρεσης και το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο (π.χ. τη μετοχή). Με το κατάλληλο «ζύγισμα» της θέσης μας, μπορούμε να εξαλείψουμε τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου, δηλαδή να το κάνουμε «ασφαλές» χωρίς κίνδυνο.

Αυτή η διαδικασία ονομάζεται συνεχώς αναθεωρούμενη αντιστάθμιση κινδύνου δέλτα (delta hedging).

Πώς δουλεύει μαθηματικά;

• Το μοντέλο βασίζεται σε μια μερική διαφορική εξίσωση (η εξίσωση Black-Scholes).

• Από αυτή την εξίσωση προκύπτει ο τύπος Black-Scholes, που δίνει την τιμή ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος προαίρεσης (δηλαδή που μπορεί να ασκηθεί μόνο στη λήξη του).

• Ο τύπος λαμβάνει υπόψη παράγοντες όπως:

  • την τρέχουσα τιμή της μετοχής,

  • την τιμή εξάσκησης του δικαιώματος,

  • τον χρόνο έως τη λήξη,

  • τη μεταβλητότητα της μετοχής,

  • το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο.

Παράδειγμα υπολογισμού τιμής call option με τον τύπο Black-Scholes

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να κατανοήσουμε πώς χρησιμοποιείται στην πράξη ο τύπος Black-Scholes. Έστω ότι έχουμε τα παρακάτω δεδομένα:

Παράμετρος	Τιμή
Τρέχουσα τιμή μετοχής (S)	100 €
Τιμή εξάσκησης (K)	105 €
Χρόνος έως λήξη (T)	1 χρόνος (1 έτος)
Ετήσια μεταβλητότητα (σ)	20% = 0.20
Επιτόκιο χωρίς κίνδυνο (r)	5% = 0.05

Οι μεταβλητές $d_1$ και $d_2$ υπολογίζονται ως εξής:

$$d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \quad , \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$$

Υπολογίζοντας:

$$d_1=0.10605,d_2=-0.09395$$

Οι τιμές της συνάρτησης κατανομής της τυπικής κανονικής για αυτές είναι:

$$N(d_1)\approx 0.5423,N(d_2)\approx 0.4625$$

Τέλος, η τιμή του call option δίνεται από τον τύπο:

$$C = S \cdot N(d_1) - K e^{-rT} \cdot N(d_2)$$

Με τα στοιχεία μας:

$$C=100\times 0.5423-99.879\times 0.4625=8,02\text{€}$$

Άρα, η θεωρητική τιμή του call option είναι περίπου 8,02 ευρώ.

---

Αυτό το παράδειγμα δείχνει πώς με το μοντέλο Black-Scholes μπορούμε να αποτιμήσουμε τα δικαιώματα προαίρεσης με βάση μαθηματικά δεδομένα και όχι μόνο εκτιμήσεις ή υποθέσεις για το μέλλον.