🔹 Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μέσω Διαφορικών Εξισώσεων: Μια Αναλυτική Απόδειξη

🔺 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές:

• $a$: μία κάθετη πλευρά (μεταβλητή)

• $b$: η άλλη κάθετη πλευρά (σταθερή)

• $c$: υποτείνουσα (εξαρτάται από το $a$)

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Ιδέα:

Αν θεωρήσουμε το μήκος του $a$ ως μεταβλητό, μπορούμε να μελετήσουμε πώς αλλάζει η υποτείνουσα $c$ καθώς αυξάνεται το $a$. Αυτό είναι ένα πρόβλημα συσχετισμού μεταβολών (διαφορικός λογισμός). Χρησιμοποιούνται όμοια τρίγωνα για να συσχετιστούν οι μεταβολές.

---

🔁 1. Όμοια τρίγωνα → λόγος παραγώγων

Αν κρατάμε το $b$ σταθερό και μεταβάλλουμε το $a$, τότε για το τρίγωνο:

$\dfrac{da}{dc} = \dfrac{c}{a}$​

Δηλαδή, ο ρυθμός μεταβολής του $a$ ως προς το $c$ είναι ίσος με τον λόγο $\dfrac{c}{a}$ (από γεωμετρική σχέση όμοιων τριγώνων).

---

🔄 2. Αναδιατύπωση: διαφορική εξίσωση

Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με $dc \cdot a και έχουμε$:

$ada=cdc $

Αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση που συνδέει τα a και c.

---

🔍 3. Ολοκλήρωση 

Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη:

$\int a \, da = \int c \, dc$

και έχουμε:

$\dfrac{a^2}{2} = \dfrac{c^2}{2} + \text{σταθερά}$

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2:

$a^2 = c^2 + \text{σταθερά} \quad \Rightarrow \quad c^2 = a^2 - \text{σταθερά}$

ή γενικότερα:

$c^2 = a^2 + \text{σταθερά}$

---

🔢 4. Υπολογισμός της σταθεράς

Όταν $a=0$, τότε το τρίγωνο έχει πλευρές:

• μία καθέτος = 0,

• άλλη καθέτος = $b$,

• άρα η υποτείνουσα είναι ίση με το $b$: δηλαδή $c=b$.

οπότε έχουμε:

$$c^2 = a^2 + \text{σταθερά} \Rightarrow b^2 = 0^2 + \text{σταθερά} \Rightarrow \text{σταθερά} = b^2$$

---

✅ Τελικά:

$c^2 = a^2 + b^2$

Η κλασική μορφή του Πυθαγορείου Θεωρήματος, αποδειγμένη μέσω διαφορικών εξισώσεων.