Ένα υπερμεγάλο όριο στην απόδειξη της Εικασίας του Γκόλντμπαχ

Στην «Εικασία του Γκόλντμπαχ», αναφέρεται ένας απίστευτα μεγάλος αριθμός, το $3^{3^{15}}$. 

Αυτός ο αριθμός αποτέλεσε ένα κρίσιμο «φράγμα» για την απόδειξη — αποδείχθηκε το 1939 ότι όλοι οι άρτιοι αριθμοί μεγαλύτεροι από αυτόν ικανοποιούν την εικασία, ενώ για μικρότερους αριθμούς η απόδειξη παρέμενε άγνωστη.

Αλλά πόσο μεγάλος είναι στην πραγματικότητα;

• Πρώτα, ας δούμε το εσωτερικό εκθέτη:

  
  $3^{15} = 14.348.907$.

• Άρα, ο αριθμός είναι $3^{14.348.907}$.

Πόσα ψηφία έχει ένας τέτοιος αριθμός;

Ο αριθμός ψηφίων ενός $a^b$ στο δεκαδικό σύστημα δίνεται από τον τύπο:

$$\text{Ψηφία}=\lfloor b\times {\log }_{10}a\rfloor +1$$

Υπολογίζοντας:

$$\mathrm{14.348.907}\times {\log }_{10}3\approx \mathrm{6.843.249}$$

Δηλαδή, ο αριθμός $3^{3^{15}}$ έχει περίπου 6.8 εκατομμύρια ψηφία!