🦋 Καμπύλη Πεταλούδας (Butterfly Curve)

 Αυτό το εκπληκτικό και αισθητικά γοητευτικό σχήμα γεννιέται από μια φαινομενικά απλή — αλλά εντυπωσιακά ισχυρή — εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες:

$$r = e^{\sin(\theta)} - 2\cos(4\theta) + \sin^5\left(\frac{2\theta - \pi}{24}\right)$$

Τι σημαίνει αυτή η εξίσωση;

🔹 Πολικές Συντεταγμένες (r, θ)

Αντί για τις συνηθισμένες καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y), εδώ χρησιμοποιούμε ένα διαφορετικό σύστημα:

• r: η απόσταση ενός σημείου από την αρχή των αξόνων

• θ: η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα με τον θετικό ημιάξονα x

Αυτός ο τρόπος περιγραφής επιτρέπει τη δημιουργία κυκλικών και συμμετρικών σχημάτων με απλούς μαθηματικούς όρους.

---

Ανάλυση των Όρων της Εξίσωσης

🟠 $e^{\sin(\theta)}$

Ο πρώτος όρος είναι υπεύθυνος για τη βασική δομή της καμπύλης. Η συνάρτηση $\sin(\theta)$ μεταβάλλεται ομαλά από -1 έως 1, και η ύψωσή της στον αριθμό e προσδίδει εκθετική αύξηση/μείωση στην ακτίνα. Αυτό δίνει στο σχήμα τη "ζωντάνια" και την καμπυλότητα της καρδιάς του.

🟢 $-2\cos(4\theta)$

Ο δεύτερος όρος εισάγει περιοδικότητα και συμμετρία:
Το $\cos(4\theta)$ επαναλαμβάνεται 4 φορές ανά πλήρη περιστροφή (360°), δημιουργώντας "φτερά" ή "πτυχές" γύρω από το κέντρο. Ο συντελεστής -2 ρυθμίζει την ένταση αυτών των κυμάτων.

🔵 $\sin^5\left(\frac{2\theta - \pi}{24}\right)$

Αυτός ο πιο πολύπλοκος όρος προσθέτει λεπτομέρεια και υφή στο σχήμα, ιδίως στα άκρα των φτερών.

• Η 5η δύναμη ενισχύει τις κορυφές και περιορίζει τις ενδιάμεσες τιμές, δίνοντας ένα αποτέλεσμα που μοιάζει με "κεραίες" ή "λεπτές άκρες".

• Ο συνδυασμός των παραμέτρων μέσα στο ημίτονο ρυθμίζει την πυκνότητα και θέση αυτών των λεπτομερειών.

---

✨ Γιατί είναι σημαντική;

Η Καμπύλη Πεταλούδας αποτελεί ένα αριστούργημα μαθηματικής αισθητικής. Συνδυάζει αναλυτικά εργαλεία, αρμονία, συμμετρία και χάος σε μία ενιαία εξίσωση.