Τρεις Συναρτησιακές Προκλήσεις

Πρόβλημα 1

Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ώστε  

$g(xy) = f(x, g(y))$ 

για κάθε  $x, y \in \mathbb{R}$.

Πρόβλημα 2

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f  με τιμές θετικούς ακέραιους που ικανοποιούν τις συνθήκες: 

(i) f(x, x) = x 

(ii) f(x, y) = f(y, x) 

(iii) (x + y)f(x, y) = y f(x, x + y) 

για κάθε $x, y \in \mathbb{Z}_{+}$.

Πρόβλημα 3

Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που είναι συνεχείς στο  x = 0 και ικανοποιούν την σχέση:

$f(x) \cdot f(y) = \left[ f\left( \dfrac{x + y}{2} \right) \right]^2$

$\forall x, y \in \mathbb{R}$.