Κατανομή Πουασόν – Η Πιθανότητα των Σπάνιων Συμβάντων

Η Κατανομή Πουασόν (Poisson Distribution) είναι μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων που περιγράφει τον αριθμό των φορών που συμβαίνει ένα τυχαίο γεγονός μέσα σε ένα σταθερό χρονικό διάστημα ή χώρο, υπό την προϋπόθεση ότι τα γεγονότα αυτά συμβαίνουν ανεξάρτητα και με σταθερό μέσο ρυθμό.

Πότε χρησιμοποιείται

• Όταν τα γεγονότα είναι σπάνια ή τυχαία.

• Τα γεγονότα συμβαίνουν ανεξάρτητα μεταξύ τους.

• Ο μέσος ρυθμός εμφάνισης είναι σταθερός.

• Ο αριθμός των γεγονότων σε μη επικαλυπτόμενα διαστήματα είναι ανεξάρτητος.

Τύπος πιθανότητας (PMF)

Έστω X η τυχαία μεταβλητή που δείχνει τον αριθμό των γεγονότων σε ένα διάστημα, και λ\lambdaλ ο μέσος αριθμός γεγονότων σε αυτό το διάστημα. 

Τότε:

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

όπου:

• $k = 0, 1, 2, \ldots$
  

• $\lambda > 0$ ο μέσος αριθμός γεγονότων.

• $e\approx \mathrm{2.71828\; \epsilon ί\nu \alpha \iota \; \eta \; \beta ά\sigma \eta \; \tau \omega \nu \; \phi \upsilon \sigma \iota \kappa ώ\nu \; \lambda o\gamma \alpha \rho ί\theta \mu \omega \nu .}$

Βασικά χαρακτηριστικά

• Μέση τιμή (Ε[Χ]): $\lambda$
  

• Διασπορά (Var(X)): $\lambda$
  

• Η κατανομή είναι διακριτή.

---

Ο αριθμός των αυτοκινήτων που διέρχονται πάνω 

από την Golden Gate 

σε μια δεδομένη χρονική περίοδο μπορεί να 

μοντελοποιηθεί με μια κατανομή Poisson.

Παράδειγμα

Έστω ότι ένα τηλεφωνικό κέντρο λαμβάνει κατά μέσο όρο 3 κλήσεις την ώρα. Ποια είναι η πιθανότητα να λάβει ακριβώς 5 κλήσεις μέσα σε μια ώρα;

Εδώ,

• $\lambda = 3$
  

• $k = 5$
  

$$P(X=5)=\frac{3^5{e}^{-3}}{5!}=\frac{243\times e^{-3}}{120}\approx 0.1008$$

Άρα, η πιθανότητα να έρθουν ακριβώς 5 κλήσεις μέσα σε μια ώρα είναι περίπου 10,08%.