Μετατροπή Καρτεσιανών και Σφαιρικών Συντεταγμένων – Τύποι, Ορισμοί και Παράδειγμα

Η σχέση μεταξύ καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z) και σφαιρικών συντεταγμένων (r,θ,ϕ) ενός σημείου στο χώρο δίνεται από τους εξής μετασχηματισμούς:

---

🔷 Από σφαιρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

$$\begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \\ y = r \sin\theta \sin\phi \\ z = r \cos\theta \end{cases}$$

Όπου:

• $r$: απόσταση του σημείου από την αρχή των αξόνων (ακτίνα),

• $\theta$: γωνία από τον θετικό άξονα $z$ προς το σημείο (συχνά λέγεται πολική γωνία ή zenith angle, $0 \leq \theta \leq \pi$),

• $\phi$: γωνία προβολής του σημείου στο επίπεδο $xy$ με τον θετικό άξονα $x$ (αζιμουθιακή γωνία, $0 \leq \phi < 2\pi$).

---

🔷 Από καρτεσιανές σε σφαιρικές συντεταγμένες:

$$\begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = \arccos\left(\dfrac{z}{r}\right) \\ \phi = \arctan2(y, x) \end{cases}$$

Σημειώσεις:

• Η συνάρτηση $\arctan2(y, x)$ δίνει τη σωστή τιμή της γωνίας $\phi$ στο πλήρες εύρος $[0, 2\pi)$, λαμβάνοντας υπόψη το τεταρτημόριο.

• Αν $r = 0$, τότε το σημείο είναι η αρχή των αξόνων και οι γωνίες δεν είναι ορισμένες.

---

💡 Παράδειγμα

Έστω σημείο με καρτεσιανές συντεταγμένες $(x,y,z)=(1,1,\sqrt{2})$

1. Υπολογίζουμε:

   • $r = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$
     

   • $\theta =\arccos \left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{\mathrm{4}}}$

Άρα, οι σφαιρικές συντεταγμένες του σημείου είναι:

$$(r,\theta ,\varphi )=(2,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})$$