📘 Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης (ΘΠΣ)

Έστω $u(x, y)$ συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση σε κάποιο ανοικτό χωρίο $U \subset \mathbb{R}^2$, που περιέχει το σημείο $(x_0, y_0)$, και ισχύει:

• $u(x_0, y_0) = 0$

• $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) \ne 0$

Τότε, υπάρχει ορθογώνιο χωρίο:

$$S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid |x - x_0| < b,\, |y - y_0| < a\} \subset U$$

και μια μοναδική, συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση $y = y(x)$ ορισμένη για $|x - x_0| < b$, τέτοια ώστε:

1. Η εξίσωση $u(x, y) = 0$ έχει μοναδική λύση της μορφής $y = y(x)$ στο $S$.

2. Η συνάρτηση $y = y(x)$ είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο διάστημα $|x - x_0| < b$, και η παράγωγός της δίνεται από:

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial u}{\partial x}(x, y(x))}{\frac{\partial u}{\partial y}(x, y(x))}$$

✍️ Παρατηρήσεις:

• Η προϋπόθεση $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) \ne 0$ εξασφαλίζει ότι μπορούμε να «λύσουμε» το $y$ ως συνάρτηση του $x$ τοπικά.

• Το θεώρημα εφαρμόζεται σε πολλές περιοχές: λύση εξισώσεων, μεταβολή μεταβλητών, θεωρία διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων κ.ά.

• Το γενικευμένο ΘΠΣ υπάρχει και σε διαστάσεις $\mathbb{R}^n$, αλλά εδώ περιοριζόμαστε σε 2 μεταβλητές.