Μελέτη αντιμεταθετικότητας σύνθεσης συναρτήσεων

Πότε δύο συναρτήσεις αντιμετατίθενται;

Η σύνθεση συναρτήσεων, δηλαδή η πράξη $f \circ g(x) = f(g(x))$, δεν είναι γενικά αντιμεταθετική — δηλαδή συνήθως ισχύει $f \circ g \ne g \circ f$.

Υπάρχουν, ωστόσο, ορισμένες περιπτώσεις όπου η αντιμεταθετικότητα ισχύει:

• Όταν $f = g$,

• όταν η μία είναι η αντίστροφη της άλλης (δηλ. $f = g^{-1}$),

• ή όταν μία από τις δύο είναι η ταυτοτική συνάρτηση.

Αυτές είναι μάλλον οι «προφανείς» περιπτώσεις. Υπάρχουν όμως και λιγότερο αναμενόμενα παραδείγματα.

(α) Τι συμβαίνει όταν η μία από τις δύο συναρτήσεις είναι πρωτοβάθμια;

Αν υποθέσουμε ότι $f(x) = ax + b$ είναι μια πρωτοβάθμια (γραμμική) συνάρτηση με $a \ne 0$, τότε μπορεί κανείς να δείξει ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις $g$ που αντιμετατίθενται με την $f$, δηλαδή για τις οποίες ισχύει

$f∘g=g∘f$.

Ποιες είναι αυτές οι συναρτήσεις $g$; Πώς προκύπτουν;

(β) Υπάρχουν και άλλα πολυώνυμα που «συνθέτουν καλά»;

Είναι δυνατόν δύο πολυωνυμικές συναρτήσεις — που δεν είναι απλά γραμμικές — να αντιμετατίθενται; Μπορούμε να εντοπίσουμε παραδείγματα ή ακόμη και ολόκληρες οικογένειες τέτοιων συναρτήσεων;

(γ) Τι συμβαίνει με άλλες κατηγορίες συναρτήσεων;

Η αντιμεταθετικότητα της σύνθεσης μπορεί να προκύψει και σε άλλες κατηγορίες συναρτήσεων: εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές. Για παράδειγμα, ισχύει ότι

$e^x∘ln⁡x=ln⁡x∘e^x$  ?

ή

$sin⁡(x+a)∘cos⁡x=cos⁡x∘sin⁡(x+a)$  ?

Σε ποιες περιπτώσεις η αντιμεταθετικότητα παραβιάζεται και σε ποιες διατηρείται;