🏨 Το Παράδοξο με τα Άπειρα Χαλιά και το Ξενοδοχείο με Άπειρους Ορόφους

Το παγκοσμίως διάσημο ξενοδοχείο του καθηγητή Χίλμπερτ, με άπειρους ορόφους (οι οποίοι αριθμούνται με τους θετικούς ακέραιους αριθμούς), είναι γεμάτο:

κάθε δωμάτιο σε κάθε όροφο καταλαμβάνεται από έναν επισκέπτη.

Ο διευθυντής θέλει να στρώσει χαλιά στους διαδρόμους όλων των ορόφων. Έτσι, έχει στη διάθεσή του ένα άπειρο σύνολο πεπερασμένου μήκους χαλιών, αριθμημένα με τους φυσικούς αριθμούς: 

$H = \{ h_1, h_2, h_3, \dots \}$

Ωστόσο, υπάρχει ένας περιορισμός στις προτιμήσεις τους:

Αν δύο επισκέπτες κατοικούν σε διαφορετικούς ορόφους, τότε τα σύνολα των χαλιών που τους αρέσουν έχουν μόνο πεπερασμένη τομή. Δηλαδή, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα χαλιά που αρέσουν και στους δύο.

---

❓ Ζητούμενο:

Να αποδείξετε ότι είναι δυνατή μια κατανομή των χαλιών στους ορόφους, ώστε για κάθε επισκέπτη, μόνο πεπερασμένα από τα χαλιά που του αρέσουν να βρίσκονται στον ίδιο όροφο μ’ αυτόν.

Δηλαδή, όλα τα υπόλοιπα (άπειρα) χαλιά που του αρέσουν τοποθετούνται σε διαφορετικούς ορόφους από τον δικό του.