Ο Κανόνας της Αλυσίδας για Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

🧠 Ο Τύπος (Στο πάνω μέρος της εικόνας):

$$\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial g_1} \cdot \frac{\partial g_1}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial g_2} \cdot \frac{\partial g_2}{\partial x}$$

Αυτό εκφράζει το πώς η συνάρτηση $f$, που εξαρτάται από τις $g_1$ και $g_2$, μεταβάλλεται σε σχέση με το $x$, δεδομένου ότι και οι $g_1$ και $g_2$ είναι με τη σειρά τους συναρτήσεις του $x$.

---

📊 Το Διάγραμμα (Στο κάτω μέρος):

Το διάγραμμα απεικονίζει οπτικά πώς υπολογίζεται η ολική παράγωγος $\dfrac{df}{dx}$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας.

---

🧵 Διαδρομές στο Γράφημα:

Υπάρχουν δύο ξεχωριστές διαδρομές από το $x$ προς το $f$, που δείχνουν τους δύο τρόπους με τους οποίους το $x$ επηρεάζει το $f$:

• Άνω διαδρομή:

$$x \to g_1 \to f$$

Γινόμενο των παραγώγων κατά μήκος της διαδρομής:

$$\frac{\mathrm{\partial }{g}_1}{\mathrm{\partial }x}\cdot \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{g}_1}$$

• Κάτω διαδρομή:

$$x \to g_2 \to f$$

Γινόμενο των παραγώγων κατά μήκος της διαδρομής:

$$\frac{\partial g_2}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial g_2}$$

Προσθέτοντας αυτά τα γινόμενα παίρνουμε τη συνολική παράγωγο $\frac{df}{dx}$.

---

🎨 Κωδικοποίηση Χρωμάτων:

Η εικόνα χρησιμοποιεί διαφορετικά χρώματα για να ακολουθήσει κάθε στοιχείο της παραγώγου:

• Κόκκινο για $\frac{\partial g_1}{\partial x}$

• Κίτρινο για $\frac{\partial f}{\partial g_1}$

• Ροζ για $\frac{\partial g_2}{\partial x}$

• Μπλε για $\frac{\partial f}{\partial g_2}$

---

📘 Ερμηνεία:

Αυτό το διάγραμμα είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν:

• Μαθαίνεις την backpropagation στα νευρωνικά δίκτυα.

• Μελετάς συναρτήσεις που αποτελούνται από ενδιάμεσες μεταβλητές.

• Θέλεις να κατανοήσεις την ανάλυση ευαισθησίας σε εφαρμοσμένα μαθηματικά.