Άθροισμα Περιττών Αριθμών – Απόδειξη χωρίς Λόγια

Η γνωστή πρόταση ότι το άθροισμα όλων των θετικών περιττών αριθμών έως τον 2n−1 ισούται με το τέλειο τετράγωνο $n^2$, δηλαδή:

$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^{2},$$

μπορεί να αποδειχθεί με μια όμορφη απόδειξη χωρίς λόγια.

Η Ιδέα

Φανταζόμαστε ότι τοποθετούμε τετράγωνα μπλοκ (μονάδες) σε ένα πλέγμα:

• Ένα μόνο μπλοκ αντιπροσωπεύει το $1$, το πρώτο τετράγωνο $1 \times 1$.

• Αν τυλίξουμε αυτό το μπλοκ και στις δύο πλευρές με μια λωρίδα 3 μπλοκ (ο επόμενος περιττός αριθμός), σχηματίζεται ένα τετράγωνο $2 \times 2 = 4$, το δεύτερο τέλειο τετράγωνο.

• Προσθέτοντας 5 επιπλέον μπλοκ, σχηματίζεται ένα τετράγωνο $3 \times 3 = 9$, το τρίτο τέλειο τετράγωνο.

• Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, κάθε επόμενος περιττός αριθμός «αγκαλιάζει» το προηγούμενο τετράγωνο και δημιουργεί το επόμενο.

Αυτό το οπτικό μοτίβο δείχνει καθαρά ότι:

$$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2\mathrm{.}$$