Μπορεί μια "άσχετη" έκφραση όπως , όταν στρογγυλοποιηθεί προς τα πάνω, να δώσει ακριβώς την ακολουθία Fibonacci; Η απάντηση είναι ναι — τουλάχιστον για τις πρώτες 8 τιμές του n!
🔍 Η Παρατήρηση:
Αν υπολογίσουμε για κάθε φυσικό αριθμό n την παρακάτω έκφραση:
δηλαδή, την τετραγωνική ρίζα του $e^n$, και μετά την στρογγυλοποιήσουμε προς τα πάνω, τότε για n=0 έως n=8, προκύπτουν οι εξής τιμές:
| n | √eⁿ = en/2 | Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω | Fibonacci |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | ≈ 1.6487 | 2 | 2 |
| 2 | ≈ 2.718 | 3 | 3 |
| 3 | ≈ 4.4817 | 5 | 5 |
| 4 | ≈ 7.389 | 8 | 8 |
| 5 | ≈ 12.182 | 13 | 13 |
| 6 | ≈ 20.085 | 21 | 21 |
| 7 | ≈ 33.115 | 34 | 34 |
| 8 | ≈ 54.598 | 55 | 55 |
🔗 Δηλαδή:
όπου είναι η ακολουθία Fibonacci!
🤔 Πρόκειται για Μαθηματική Σύμπτωση;
Όχι εντελώς. Αν και για μεγαλύτερες τιμές του nnn η σχέση παύει να ισχύει επακριβώς, η εκθετική αύξηση της συνάρτησης $e^{n/2}$ προσεγγίζει καλά την ακολουθία Fibonacci στις αρχικές της τιμές. Αυτό συμβαίνει επειδή και οι δύο ακολουθίες (η εκθετική και η Fibonacci) αυξάνονται ταχέως — αν και με διαφορετικό τρόπο.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου