Εμβαδόν ενός Κυκλοειδούς με το Θεώρημα του Mamikon

Το κυκλοειδές είναι η καμπύλη που δημιουργείται όταν ένα σημείο στην περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας r κυλάει χωρίς ολίσθηση κατά μήκος μιας ευθείας.

Ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα της γεωμετρίας είναι ο υπολογισμός του εμβαδού κάτω από ένα τόξο κυκλοειδούς χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Mamikon.

---

Βασική Ιδέα

• Σκεφτόμαστε το ορθογώνιο που περιβάλλει το κυκλοειδές. Το ορθογώνιο αυτό έχει διαστάσεις:

  $$2r\times 2\pi r=4\pi r^2\mathrm{.}$$

• Η μέθοδος του Mamikon μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε την περίπλοκη καμπύλη με την εφαπτομενική συστάδα (tangent cluster), η οποία μπορεί να ομαδοποιηθεί και να σχηματίσει έναν κύκλο ακτίνας r. Ο κύκλος αυτός έχει εμβαδόν:
  $$A_{\text{κύκλου}}=\pi r^2\mathrm{.}$$

• Το εμβαδόν που βρίσκεται κάτω από το κυκλοειδές είναι ό,τι απομένει όταν αφαιρέσουμε το εμβαδόν αυτού του κύκλου από το ορθογώνιο:

  $$A_{\text{κυκλοειδούς}}=4\pi r^2-\pi r^2=3\pi r^2\mathrm{.}$$

---

Το Εντυπωσιακό Αποτέλεσμα

Το εμβαδόν κάτω από ένα τόξο κυκλοειδούς είναι 3 φορές το εμβαδόν του κύκλου που το δημιουργεί!

Αυτή η κομψότητα οφείλεται στο ότι οι εφαπτόμενες στο κυκλοειδές, όταν συσταδοποιηθούν, σχηματίζουν ακριβώς τον κύκλο δημιουργίας, προσφέροντας μια ισχυρή γεωμετρική οπτικοποίηση.