Το Θεώρημα του Πτολεμαίου και η Απόδειξη της Ταυτότητας sin(α+β)

Το Θεώρημα του Πτολεμαίου αναφέρει ότι σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο, το άθροισμα των γινομένων των μη απέναντι πλευρών ισούται με το γινόμενο των διαγωνίων:

$AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DA$

Όταν οι πλευρές αυτού του τετράπλευρου εκφραστούν μέσω μήκους που συνδέονται με τις τιμές των ημιτόνων και συνημιτόνων δύο γωνιών $\alpha$ και $\beta$ — όπως φαίνεται στο διάγραμμα — η παραπάνω ισότητα μετατρέπεται στην τριγωνομετρική ταυτότητα:

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

Αυτή η γεωμετρική προσέγγιση αποδεικνύει πώς το Πυθαγόρειο θεώρημα και το Θεώρημα του Πτολεμαίου συνδυάζονται, οδηγώντας σε βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες μέσω απλών και κατανοητών γεωμετρικών σχημάτων.

---

Η Σημασία της Απόδειξης

Η σύνδεση ανάμεσα σε ένα αρχαίο θεώρημα και την τριγωνομετρία δείχνει την εσωτερική αρμονία των μαθηματικών. Αντί να βασιζόμαστε σε αλγεβρικούς τύπους μόνο, η γεωμετρία μάς προσφέρει οπτική και διαισθητική κατανόηση των τριγωνομετρικών σχέσεων.

---

Όταν η Γεωμετρία Μιλά, η Τριγωνομετρία Απαντά.