Αυτομορφικοί αριθμοί — γιατί ο αριθμός $8212890625^2$ «τελειώνει στον εαυτό του»

Στην εικόνα φαίνεται ότι

$$8212890625^2=6745157241\mathbf{8212890625},$$

δηλαδή το τετράγωνο του αριθμού καταλήγει στα ίδια 10 ψηφία. Τέτοιοι αριθμοί λέγονται αυτομορφικοί στη βάση 10: ικανοποιούν

$$n^2\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{10}^k)$$

για κάποιο μήκος $k$ ψηφίων (εδώ $k=10$).

Προβλήματα για λύση:

1. Δείξτε ότι αν $n^2\equiv n\pmod{10^k}$ με $k\ge1$, τότε το τελευταίο ψηφίο του $n$ είναι 5 ή 6 (οι «μη τετριμμένες» περιπτώσεις).

2. Αποδείξτε ότι για κάθε $k\ge1$ υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοιοι αριθμοί $n$ modulo $10^k$: ο «κλάδος του 5» (…90625) και ο «κλάδος του 6» (…109376).

3. Βρείτε τον «δίδυμο» του $8212890625$: τον άλλον 10-ψήφιο αυτομορφικό αριθμό που τελειώνει σε 6 και έχει την ιδιότητα $m^2\equiv m\pmod{10^{10}}$.

4. Γενικεύστε: πώς κατασκευάζονται αναδρομικά αυτομορφικοί αριθμοί για οποιοδήποτε $k$; (Υπόδειξη: λύστε ξεχωριστά modulo $2^k$ και modulo $5^k$ και χρησιμοποιήστε Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.)