Γιατί πρέπει ο αριθμός των εξισώσεων να ισούται με τον αριθμό των μεταβλητών;

Η λύση συστημάτων εξισώσεων αποτελεί κεντρικό θέμα στα μαθηματικά, τόσο στη Γραμμική Άλγεβρα όσο και στη Γεωμετρία και τη Φυσική. Ένα από τα πρώτα ερωτήματα που προκύπτουν είναι:

Γιατί πρέπει να έχουμε τόσες εξισώσεις όσες και οι άγνωστες μεταβλητές, ώστε να βρίσκουμε μοναδική λύση;

Ας το αναλύσουμε βήμα-βήμα.

---

1. Γεωμετρική Ερμηνεία

Κάθε γραμμική εξίσωση σε δύο ή τρεις μεταβλητές μπορεί να ερμηνευθεί γεωμετρικά:

• Στο επίπεδο (2D), μια εξίσωση αναπαρίσταται ως ευθεία.

• Στον χώρο (3D), μια εξίσωση δύο μεταβλητών αναπαρίσταται ως επίπεδο.

Παραδείγματα:

1. Μία εξίσωση – δύο μεταβλητές
   Η εξίσωση x + y = 5 είναι μια ευθεία. Έχει άπειρες λύσεις γιατί όλα τα σημεία πάνω στην ευθεία ικανοποιούν την εξίσωση.

2. Δύο εξισώσεις – δύο μεταβλητές
   Το σύστημα:
   x + y = 5
   2x - y = 1
   αντιστοιχεί σε δύο ευθείες.
   Αν δεν είναι παράλληλες, τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο, που είναι η μοναδική λύση.

3. Τρεις εξισώσεις – δύο μεταβλητές
   Τρεις ευθείες στο επίπεδο συνήθως δεν τέμνονται όλες στο ίδιο σημείο. Άρα το σύστημα είναι πιθανόν ασυνεπές.

Συμπέρασμα: Για να «κλειδώσουμε» τη λύση σε ένα μοναδικό σημείο, ο αριθμός εξισώσεων πρέπει να ισούται με τις μεταβλητές.

---

2. Περιορισμοί και Βαθμοί Ελευθερίας

Μια άλλη προσέγγιση είναι η λογική των βαθμών ελευθερίας:

• Κάθε άγνωστη μεταβλητή αντιστοιχεί σε έναν βαθμό ελευθερίας.

• Κάθε εξίσωση αποτελεί έναν περιορισμό.

Για να υπάρξει μοναδική λύση:

$$\text{Περιορισμοί}=\text{Βαθμοί}\text{ Ελευθερίας }$$

Δηλαδή, εξισώσεις = μεταβλητές.

Τι συμβαίνει αν δεν ισχύει;

1. Λιγότερες εξισώσεις από μεταβλητές (Underdetermined)

   • Παράδειγμα:

     x + y + z = 6
     x - y + z = 2
     Εδώ έχουμε 2 εξισώσεις και 3 μεταβλητές.
     Το αποτέλεσμα είναι άπειρες λύσεις γιατί περισσεύει μία «ελεύθερη» μεταβλητή.

2. Περισσότερες εξισώσεις από μεταβλητές (Overdetermined)

   • Παράδειγμα:

     x + y = 4
     2x - y = 1
     x - 3y = 7
     Το σύστημα έχει 3 εξισώσεις και 2 μεταβλητές.
     Συνήθως οδηγεί σε ασυνεπές σύστημα, εκτός αν κάποια εξίσωση είναι συνδυασμός των άλλων.

---

3. Το Θεώρημα Rouché‑Capelli

Η Γραμμική Άλγεβρα δίνει το ακριβές κριτήριο μέσω του θεωρήματος Rouché‑Capelli:

• Υπολογίζουμε τον βαθμό (rank) του πίνακα συντελεστών και του επαυξημένου πίνακα.

• Αν οι βαθμοί είναι ίσοι, το σύστημα είναι συνεπές.

• Αν ο βαθμός = αριθμός μεταβλητών → μοναδική λύση.

• Αν ο βαθμός < αριθμός μεταβλητών → άπειρες λύσεις.

• Αν οι βαθμοί είναι άνισοι → ασυνεπές σύστημα.

---

4. Οπτικοποίηση & Παραδείγματα

Συνοπτικά, η συσχέτιση έχει ως εξής:

Κατηγορία Συστήματος	Εξισώσεις	Μεταβλητές	Συνήθης Συμπεριφορά
Underdetermined	<	>	Άπειρες λύσεις ή ασυνεπές
Ισορροπημένο	=	=	Μοναδική λύση (ανεξάρτητες εξισώσεις)
Overdetermined	>	<	Συνήθως ασυνεπές

Αυτό το σκεπτικό εξηγεί γιατί στην πράξη, στα γραμμικά συστήματα, χρειαζόμαστε τόσες εξισώσεις όσες και οι μεταβλητές για να ελπίζουμε σε μοναδική και πλήρη λύση.