Κυκλικές Συναρτήσεις και ένα Εντυπωσιακό Παράδειγμα

Μια κυκλική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση f(x)f(x) που έχει την ιδιότητα ότι, μετά από ένα πεπερασμένο πλήθος διαδοχικών εφαρμογών της, παίρνουμε ξανά το αρχικό x:

$$f(f(\cdots f(x)\cdots ))=x\mathrm{.}$$

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η συνάρτηση

$$f(x)=\frac{1}{x},$$

επειδή ισχύει

$$f(f(x))=f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right)=x\mathrm{.}$$

Οι κυκλικές συναρτήσεις εμφανίζονται συχνά στην επίλυση συναρτησιακών εξισώσεων. Ας δούμε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα:

---

Πρόβλημα

Βρείτε $f(x)$ τέτοιο ώστε:

$$3f(x)-4f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right)=x^2\mathrm{.}$$

---

Λύση

Θέτουμε $x = y$ και $x = 1/y$. Έτσι παίρνουμε το σύστημα:

$$3f(y)-4f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{y}\right)=y^2,$$$$3f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{y}\right)-4f(y)=\frac{1}{y^2}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 3 και τη δεύτερη με 4:

$$9f(y)-12f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{y}\right)=3y^2,$$$$12f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{y}\right)-16f(y)=\frac{4}{y^2}\mathrm{.}$$

Αν προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις, οι όροι με $f(1/y)$ απαλείφονται:

$$-7f(y)=3y^2+\frac{4}{y^2}\mathrm{.}$$

Άρα:

$$f(y)=-\frac{3}{7}{y}^2-\frac{4}{7y^2}\mathrm{.}$$