Τέλειοι Αριθμοί: Ορισμός, Παραδείγματα, Θεωρήματα και το Άλυτο Μυστήριο

🔹 Ορισμός

Ένας φυσικός αριθμός λέγεται τέλειος (Perfect number) όταν το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του (δηλαδή όλων των θετικών διαιρετών του εκτός από τον ίδιο) είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό.

Παράδειγμα:$$6=1+2+36 = 1 + 2 + 3$$ άρα το 6 είναι τέλειος αριθμός.

🔹 Παραδείγματα

• Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6.

• Ο επόμενος είναι το 28 (αφού $1+2+4+7+14 = 28$).

• Ακολουθούν οι αριθμοί 496, 8128, κ.ο.κ.

Όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι και έχουν μια συγκεκριμένη μορφή.

---

🔹 Θεώρημα (Ευκλείδης)

Αν

$$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1$$

είναι πρώτος αριθμός, τότε

$$2^{k-1}(2^k - 1)$$

είναι τέλειος αριθμός.

Σημείωση: Ο αριθμός $2^k - 1$ ονομάζεται Mersenne αριθμός (Mersenne number) και συμβολίζεται με $M_k$. Αν ο $M_k$ είναι πρώτος, τότε το $k$ πρέπει να είναι επίσης πρώτος.

---

🔹 Θεώρημα (Euler)

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός έχει ακριβώς τη μορφή που περιέγραψε ο Ευκλείδης.

---

🔹 Ανοιχτό Πρόβλημα

Μέχρι σήμερα δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει περιττός τέλειος αριθμός. Παρά τις τεράστιες προσπάθειες μαθηματικών και την πρόοδο στους υπολογισμούς, κανένας περιττός τέλειος αριθμός δεν έχει βρεθεί.

---

🔹 Ιστορική Αναδρομή

• Οι τέλειοι αριθμοί ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα. Ο Ευκλείδης (περίπου 300 π.Χ.) απέδειξε το πρώτο θεώρημα για τη μορφή τους.

• Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός (1ος αιώνας μ.Χ.) τους συνδέει με φιλοσοφικές έννοιες «αρμονίας» και «πληρότητας».

• Τον 18ο αιώνα, ο Euler έδειξε ότι όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί έχουν τη μορφή του Ευκλείδη.

• Μέχρι σήμερα έχουν βρεθεί μερικές δεκάδες τέλειοι αριθμοί, όλοι άρτιοι και πάρα πολύ μεγάλοι. Οι μεγαλύτεροι γνωστοί συνδέονται με τεράστιους πρώτους αριθμούς Mersenne.