Μια ψεύτικη απόδειξη που μοιάζει πειστική

Δίνεται ότι \(\sqrt{2}\approx 1.414\). Κάποιος «αποδεικνύει» πως \(\sqrt{200}=\pi\). Ας δούμε πώς ξεγελιόμαστε και πού βρίσκεται το λάθος.

Η “Απόδειξη”

\[ \sqrt{200}=0+\sqrt{200} \] \[ =(500000-500000)\cdot\frac{\pi-\sqrt{200}}{151}+\sqrt{200} \] \[ =(500000-250000\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2)\cdot\frac{\pi-\sqrt{200}}{151}+\sqrt{200} \] \[ \text{(εδώ βάζουν το }\sqrt2\approx1.414\text{)}\quad =(500000-250000\cdot1.414\cdot1.414)\cdot\frac{\pi-\sqrt{200}}{151}+\sqrt{200} \] \[ =(500000-499849)\cdot\frac{\pi-\sqrt{200}}{151}+\sqrt{200} =151\cdot\frac{\pi-\sqrt{200}}{151}+\sqrt{200} =\pi-\sqrt{200}+\sqrt{200}=\pi. \]

Πού είναι το λάθος;

Μέχρι το βήμα \((500000-250000\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2)\) η διαφορά είναι ακριβώς \(0\), επειδή \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\). Όμως με την αντικατάσταση \(\sqrt2\approx1.414\) έχουμε \[ 1.414^2=1.999396\neq2, \] οπότε \[ 500000-250000\cdot1.999396 =500000-499849=151\neq0. \] Δηλαδή το «0» έγινε \(\,151\) λόγω προσέγγισης. Από εκεί και πέρα, οι γραμμές δεν είναι πια ισότητες — το σύμβολο «\(=\)» έπρεπε να γίνει «\(\approx\)». Γι’ αυτό το τελικό \(\pi\) είναι ψευδές συμπέρασμα.

Το σωστό αποτέλεσμα

\[ \sqrt{200}=10\sqrt2\approx 10\times1.414=14.14 \quad(\text{ακριβέστερα }14.1421356\ldots), \] ενώ \(\pi\approx3.1415926\ldots\).

Μάθημα

Όταν χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις, δεν κρατάμε το «\(=\)» σαν να είναι ακριβής ισότητα. Μια μικρή στρογγυλοποίηση μπορεί να αλλάξει δραματικά το αποτέλεσμα.