Ένα πολυώνυμο με ήρεμη αρχή και απρόβλεπτο φινάλε.
Φανταστείτε ένα πολυώνυμο βαθμού 4 που ξεκινά ήρεμα, σχεδόν γραμμικά, αλλά κρύβει μια εκπληκτική ανατροπή. 
Για τις τιμές \(x = 1, 2, 3, 4\), δίνει μικρές, ακέραιες τιμές που σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο: \[ f(1) = 1, \quad f(2) = 3, \quad f(3) = 5, \quad f(4) = 7 \] Όλα δείχνουν ότι έχουμε να κάνουμε με μια απλή συνάρτηση, ίσως κάτι σαν \(f(x) = 2x - 1\). Όμως, στην πέμπτη τιμή, το πολυώνυμο μας εκπλήσσει: \[ f(5) = 114514 \] Μια απότομη, σχεδόν εκρηκτική αλλαγή!
Ποιος είναι ο τύπος αυτής της παράδοξης συνάρτησης;
$f(x) = \dfrac{114505}{24}x^4 - \dfrac{572525}{12}x^3 +$
$+ \dfrac{4007675}{24}x^2 - \dfrac{2862601}{12}x + 114504$
Αυτό το πολυώνυμο περνά ακριβώς από τα σημεία: \[ (1,1), \quad (2,3), \quad (3,5), \quad (4,7), \quad (5,114514) \] Η τεράστια τιμή στο \(x = 5\) «αναγκάζει» το πολυώνυμο να αποκτήσει μεγάλους συντελεστές, ώστε να ικανοποιεί όλα τα δεδομένα. Είναι ένα εντυπωσιακό παράδειγμα του πώς ένα μόνο σημείο μπορεί να ανατρέψει την αναμενόμενη συμπεριφορά ενός μαθηματικού μοντέλου.
Η γραφική παράσταση
Η γραφική παράσταση αποτυπώνει τέλεια τη συμπεριφορά του: η συνάρτηση μοιάζει σχεδόν γραμμική από το \(x = 1\) έως το \(x = 4\), αλλά στο \(x = 5\) εκτοξεύεται απότομα για να φτάσει το \(f(5) = 114514\). Αυτή η αντίθεση ανάμεσα στην προβλεψιμότητα και την ξαφνική ανατροπή κάνει το πολυώνυμο τόσο ξεχωριστό!
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου