Η Ταυτότητα του Cassini: Μαθηματική Ομορφιά στους Αριθμούς Fibonacci

Η Ταυτότητα του Cassini αναφέρει ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει

$$F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n\mathrm{.}$$

Δηλαδή, το γινόμενο του προηγούμενου και του επόμενου αριθμού Fibonacci, μείον το τετράγωνο του ενδιάμεσου, ισούται με $(-1)^n$ — είναι δηλαδή είτε $1$ είτε $-1$, ανάλογα με το αν το $n$ είναι ζυγός ή περιττός.

Παράδειγμα. Για $n=5$ $F_4=3,\ F_5=5,\ F_6=8$.

$$3\cdot 8-5^2=24-25=-1=(-1{)}^5\mathrm{.}$$

Άρα η ταυτότητα επαληθεύεται.

---

Απόδειξη

Θέτουμε $F_0=0,\ F_1=1,\ F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ και τον πίνακα

$$Q=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Είναι γνωστό (και ελέγχεται με επαγωγή) ότι

$$Q^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)\mathrm{..}$$

Υπολογίζουμε ορίζουσες:

$$\det Q=-1⟹\det \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(Q^n\right)=(\det Q{)}^n=(-1{)}^n\mathrm{.}$$

Από την άλλη,

$$\det \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(Q^n\right)=F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2\mathrm{.}$$

Άρα

$$F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n,$$

όπως έπρεπε να δείξουμε.

• Ιστορικό. Η ταυτότητα αποδίδεται στον Giovanni Domenico Cassini (1680). Αργότερα ο E. Catalan έδωσε τη γενίκευση

  $$F_{n+k}{F}_{n-k}-F_n^2=(-1{)}^{n-k}{F}_k^2(n\ge k\ge 0)\mathrm{.}$$