Eisatopon Math AI Challenges: Πώς το Ολοκλήρωμα του Dirichlet μας οδηγεί στο π/2

Δευτέρα 11 Αυγούστου 2025

Το «κλασικό» ολοκλήρωμα του Dirichlet είναι ένα από τα πιο γνωστά εσωτερικά ολοκληρώματα:

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2} $$

Είναι ένα εσωτερικό ολοκλήρωμα (improper integral) επειδή το άνω όριο ολοκλήρωσης είναι το άπειρο ($\infty$).
Η σύγκλισή του είναι υπό συνθήκη (conditional convergence), δηλαδή το ολοκλήρωμα συγκλίνει στην τιμή $\frac{\pi}{2}$, αλλά το ολοκλήρωμα των απολύτων τιμών, $$ \int_{0}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\,dx $$ αποκλίνει.

Αυτή η μέθοδος εκμεταλλεύεται την αναπαράσταση της συνάρτησης $\frac{1}{x}$ ως ολοκλήρωμα.

Βήμα 1: Χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση:
$$ \frac{1}{x}=\int_{0}^{\infty}e^{-ux}\,du \quad (x>0) $$
Βήμα 2: Αντικαθιστούμε στο αρχικό ολοκλήρωμα και αλλάζουμε τη σειρά ολοκλήρωσης (με βάση το θεώρημα Fubini):
$$ I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx =\int_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-ux}\sin x \,du\,dx = \int_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-ux}\sin x \,dx\,du $$
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα ως προς $x$, το οποίο είναι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης $\sin x$:
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-ux}\sin x\,dx=\frac{1}{1+u^{2}} $$
Βήμα 4: Ολοκληρώνουμε ως προς $u$ για να βρούμε το τελικό αποτέλεσμα:
$$ I=\int_{0}^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}} =\big[\arctan u\big]_{0}^{\infty}=\arctan(\infty)-\arctan(0)=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2} $$

Για την γενικευμένη μορφή με παράμετρο $a \in \mathbb{R}$, το αποτέλεσμα εξαρτάται από το πρόσημο του $a$:

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\,dx $$

Για $a>0$, το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $\dfrac{\pi}{2}$.
Για $a=0$, το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $0$.
Για $a < 0$: $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\,dx = -\frac{\pi}{2}$

Αυτό μπορεί να συνοψιστεί στη σύντομη μορφή:

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2} \cdot \text{sgn}(a) $$

όπου $\text{sgn}(a)$ είναι η συνάρτηση προσήμου.