Το 1843, ο Joseph Liouville κάνει μια από τις σημαντικότερες ανακοινώσεις στην ιστορία των μαθηματικών: ανακαλύπτει, στα ανέκδοτα χειρόγραφα του Évariste Galois, τη λύση στο πρόβλημα του αν μπορεί να λυθεί ένα γενικό πολυώνυμο πέμπτου βαθμού με ριζικά.
❓ Το Πρόβλημα
Οι μαθηματικοί από την εποχή του Ευκλείδη προσπαθούσαν να λύσουν εξισώσεις όλων των βαθμών. Γνώριζαν τύπους για:
- Εξισώσεις δευτέρου βαθμού (γνωστός τύπος)
- Εξισώσεις τρίτου και τετάρτου βαθμού (Cardano και Ferrari)
Όμως για το πέμπτου βαθμού πολυώνυμο:
\[ x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 \]
…κανείς δεν είχε βρει γενικό τύπο με ριζικά. Ήταν άραγε δυνατό;
✍️ Ο Galois και η θεωρία που γεννήθηκε στη σκιά
Ο Évariste Galois, μόλις 20 ετών, ανέπτυξε μια πρωτοποριακή θεωρία που συνέδεε τη δομή των ριζών ενός πολυωνύμου με την επιλυσιμότητά του. Αντί να αναζητά τύπους, εστίασε στη συμμετρία των ριζών και στις ομάδες που τη διέπουν.
Οι ιδέες του δεν έγιναν κατανοητές στην εποχή του. Μετά τον πρόωρο θάνατό του το 1832, τα χειρόγραφά του έμειναν ξεχασμένα — μέχρι που ο Liouville τα ανέσυρε και αποκάλυψε το μεγαλείο τους.
📢 Η Ανακοίνωση του 1843
Ο Liouville ανακοίνωσε ότι ο Galois είχε αποδείξει: Δεν υπάρχει γενικός τύπος με ριζικά για την επίλυση πολυωνύμων πέμπτου (ή ανώτερου) βαθμού.
Αντί γι’ αυτό, έδωσε ένα κριτήριο: η επιλυσιμότητα με ριζικά εξαρτάται από τη δομή της ομάδας συμμετρίας των ριζών — αν η ομάδα είναι επιλύσιμη, τότε και το πολυώνυμο είναι.
📚 Κληρονομιά
Η ανακοίνωση του Liouville έφερε στο φως όχι μόνο μια λύση στο πρόβλημα, αλλά και μια νέα θεώρηση της αλγεβρικής δομής. Από εκεί γεννήθηκε η Θεωρία Galois, που πλέον διδάσκεται σε κάθε μαθηματικό τμήμα παγκοσμίως.
Τέθηκε έτσι τέλος στην ατέρμονη αναζήτηση ενός μαγικού τύπου για τον πέμπτο βαθμό και άνοιξε ο δρόμος για τις μοντέρνες αφηρημένες έννοιες της άλγεβρας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου