Sacks Spiral: οι πρώτοι «γράφουν» μοτίβα πάνω σε σπείρα του Αρχιμήδη

Το 1994 ο Robert Sacks πρότεινε μια εντυπωσιακή απεικόνιση: βάζουμε τους μη αρνητικούς ακεραίους πάνω σε σπείρα του Αρχιμήδη και σχεδιάζουμε για κάθε αριθμό έναν δίσκο με διάμετρο ίση με το πλήθος των διαιρετών του $d(n)$. Έτσι οι πρώτοι (με $d(n)=2$) ξεχωρίζουν ως μικρές, ομοιόμορφες τελείες που σχηματίζουν «νήματα» και καμπύλες.

Τι είναι η σπείρα του Sacks

• Διάταξη σημείων: οι ακέραιοι $n=0,1,2,\dots$ τοποθετούνται διαδοχικά πάνω σε σπείρα του Αρχιμήδη $r=a+b\theta$ (πόλωση: ακτίνα ανάλογη της γωνίας).

• Μέγεθος δίσκου: για κάθε $n$ σχεδιάζουμε δίσκο διαμέτρου $d(n)$ (η συνάρτηση διαιρετών).

• Ερμηνεία: μικροί δίσκοι ⇒ λίγοι διαιρέτες (π.χ. πρώτοι), μεγάλοι δίσκοι ⇒ «σύνθετοι» αριθμοί (τετράγωνα, υψηλά σύνθετοι).

---

Τι μοτίβα εμφανίζονται

• Νήματα πρώτων: συνεχόμενες καμπύλες πλούσιες σε πρώτους, παρόμοιες με τα «διαγώνια» της σπείρας του Ulam, αλλά σε καμπυλωμένη γεωμετρία.

• Κόμβοι συνθετότητας: τετράγωνα, κυβικά κ.λπ. δίνουν μεγαλύτερους δίσκους και σχηματίζουν εμφανείς «κόμπους».

• Πολυωνυμικές τροχιές: πολλές καμπύλες αντιστοιχούν σε τετραγωνικά πολυώνυμα που είναι γνωστό ότι παράγουν πολλούς πρώτους.

---

Πώς να τη φτιάξεις μόνος σου (βήματα)

1. Διάλεξε παραμέτρους $a,b$ για τη σπείρα $r=a+b\theta$.

2. Για κάθε $n=1,2,\dots,N$, δώσε γωνία $\theta_n = n\,\Delta\theta$ (σταθερό «βηματάκι») και ακτίνα $r_n=a+b{\theta }_{\mathrm{n.}}$

3. Μετέτρεψε σε καρτεσιανές: $x_n=r_n\cos\theta_n,\ y_n=r_n\sin\theta_n$.

4. Υπολόγισε $d(n)$ και σχεδίασε δίσκο με διάμετρο $d(n)$. (Για απεικόνιση, κλίμακωσε π.χ. ακτίνα $\propto d(n)$.)

5. Χρωμάτισε ειδικά τους πρώτους ($d(n)=2$) αν θέλεις να τους τονίσεις.

Alt-text για προσβασιμότητα: «Κυανή σπείρα με χιλιάδες τελείες διαφορετικού μεγέθους· οι μικρές τελείες (πρώτοι) σχηματίζουν καμπύλες/ακτίνες γύρω από το κέντρο».

---

Γιατί αξίζει να τη δεις

• Μετατρέπει μια αφηρημένη κατανομή (οι πρώτοι) σε γεωμετρικό τοπίο.

• Η επιλογή $d(n)$ «μετρά» τη συνθετότητα κάθε αριθμού, οπότε βλέπεις πρώτους και σύνθετους μαζί, σε ένα καρέ.

• Είναι ιδανική για διδασκαλία/επικοινωνία μαθηματικών και για visual explorations.

---

Πηγή & αναφορές

• Robert Sacks, 1994. Εισαγωγικό υλικό/παρουσίαση: Spirals, Ellipses, and Primes.

• Ενδεικτικό link παρουσίασης: https://tinyurl.com/yxemwsxn