Η Σταθερά Τετραγωνικής Αναδρομής του Somos
Η Σταθερά των Somos ορίζεται ως η άπειρη επικάλυψη τετραγωνικών ριζών:
$$ \sigma = \sqrt{1 \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{4 \sqrt{5 \cdots}}}}} \approx 1.6616879496 $$
$$ \sigma = 1^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 3^{1/8} \cdot 4^{1/16} \cdots $$
Ή σε πιο γρήγορα συγκλίνουσα μορφή:
$$ \sigma = \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{1/2^k} $$
Τετραγωνική Αναδρομή
Η σταθερά προκύπτει από τη μελέτη της αναδρομής:
$$ g_0 = 1, \quad g_n = n \, g_{n-1}^2, \quad n \ge 1 $$
Οι πρώτοι όροι είναι:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| gn | 1 | 1 | 2 | 12 | 576 | 1 658 880 |
Σε ασυμπτωτική μορφή ισχύει:
$$ g_n \sim \frac{\sigma^{2^n}}{ n + 2 - n^{-1} + 4 n^{-2} - 21 n^{-3} + 138 n^{-4} + \cdots } $$
Λογαριθμικές Σχέσεις
$$ \ln \sigma = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\ln k}{2^k} $$ $$ \ln \sigma = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \, \mathrm{Li}_k \left(\frac{1}{2}\right) $$ $$ \ln \frac{\sigma}{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ \ln(1 + 1/k) - 1/k }{ 2^k } $$
Επίσης, συνδέεται με την παράγωγο της Lerch Φ(z,s,q):
$$ \ln \sigma = -\frac{1}{2} \, \frac{\partial \Phi}{\partial s} \left( \frac12,\, 0,\, 1 \right) $$
Γενίκευση
Υπάρχει γενίκευση για κάθε \( t > 1 \):
$$ \sigma_t = \prod_{k=1}^{\infty} k^{1/t^k}, \quad \ln \sigma_t = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\ln k}{t^k} $$
Με ειδική περίπτωση: \( \sigma_2 = \sigma \).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου