Ο Dottie Number είναι η μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης:
\[ \cos(x) = x \]
\[ x \approx 0.739085133215160641655312087673873404\ldots \]
Αυτός ο αριθμός εμφανίζεται κάθε φορά που εφαρμόζουμε επανειλημμένα την τριγωνομετρική συνάρτηση του συνημιτόνου σε οποιονδήποτε αρχικό αριθμό. Με άλλα λόγια, αν δώσουμε στην αριθμομηχανή έναν τυχαίο αριθμό και πατήσουμε πολλές φορές το πλήκτρο cos, το αποτέλεσμα θα πλησιάσει πάντα σε αυτόν τον αριθμό — το Dottie Number.
Γιατί ονομάζεται "Dottie";
Το όνομα Dottie Number δόθηκε το 2007 από τον μαθηματικό Samuel R. Kaplan, εμπνευσμένο από μια καθηγήτρια γαλλικών ονόματι Dottie.
Η Dottie παρατήρησε ένα εντυπωσιακό φαινόμενο με την αριθμομηχανή της:
αν εισήγαγες οποιονδήποτε αριθμό και πατούσες διαδοχικά το πλήκτρο cos, το αποτέλεσμα συγκλίνει πάντα στην ίδια τιμή:
\[ \cos(\cos(\cos(\dots(\cos(x))\dots))) \longrightarrow D \approx 0.739085\ldots \]
Αυτός ο αριθμός είναι το ελκτικό σταθερό σημείο της συνάρτησης \(\cos(x)\), δηλαδή:
\[ \cos(D) = D \]
Ο Kaplan, εντυπωσιασμένος από την παρατήρηση της Dottie, αποφάσισε να ονομάσει έτσι αυτό το σταθερό σημείο.
Ιδιότητες του Dottie Number
- Είναι μοναδικό πραγματικό σταθερό σημείο της \(\cos(x)\).
- Είναι ελκτικό: κάθε επαναληπτική εφαρμογή της \(\cos\) συγκλίνει σε αυτό.
- Είναι αμετάθετος (transcendental) αριθμός — δεν είναι λύση καμίας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές (από το θεώρημα Lindemann–Weierstrass).
Εναλλακτικές Εκφράσεις
Ο αριθμός Dottie μπορεί να εκφραστεί ως σειρά κατά δυνάμεις του \(\pi\):
\[ D = \frac{\pi}{2} + \sum_{\substack{n=1 \\ n\ \text{περιττός}}}^{\infty} a_n \pi^n \]
Με παραδείγματα των πρώτων όρων:
\[ a_1 = -\frac{1}{4},\quad a_3 = -\frac{1}{768},\quad a_5 = \frac{1}{61440},\quad \ldots \]
Υπάρχουν επίσης προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν την αντίστροφη κανονικοποιημένη beta συνάρτηση (inverse regularized beta function), αλλά είναι πολύ πιο προχωρημένες.
Ιστορικά και Μαθηματικά Στοιχεία
- Ο αριθμός έχει εμφανιστεί ήδη από τον 19ο αιώνα, σε έργα των Bertrand (1865), Heis (1886), και Briot (1881).
- Συναντάται επίσης σε εφαρμογές όπως η εξίσωση του Kepler και στον ημικύκλιο του Bertrand.
Μικρό Πείραμα για το Σπίτι 🧮
Πάρε την αριθμομηχανή σου (σε λειτουργία ακτίνιων) και δώσε έναν οποιονδήποτε αριθμό, π.χ. \(x = 1\). Πάτα πολλές φορές το κουμπί cos. Θα δεις ότι η τιμή σταθεροποιείται γύρω στο:
\[ D \approx 0.7390851332 \]
Δοκίμασε με άλλους αριθμούς, π.χ. \(x = 2\), \(x = 10\), ή ακόμη και \(x = -5\). Το αποτέλεσμα πάντα πλησιάζει στον ίδιο αριθμό! Ωραί;
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου