Υποδακτύλιοι (Subrings): Η βασική θεωρία

Ορισμός

Έστω δακτύλιος $R$. Ένα υποσύνολο $Q\subseteq R$ λέγεται υποδακτύλιος του $R$ όταν κληρονομεί από τον $R$ τη δομή του δακτυλίου: περιέχει τα ουδέτερα στοιχεία $0,1$ του $R$ και είναι κλειστό ως προς τις πράξεις του $R$ (πρόσθεση, λήψη προσθετικού αντιστρόφου, πολλαπλασιασμό).

Με τη σύμβαση ότι ο υποδακτύλιος έχει το ίδιο μοναδιαίο με τον $R$ (unital subring), ισοδύναμα ισχύει το ακόλουθο κριτήριο:

$$1\in Q\text{και}(\mathrm{\forall }a,b\in Q)a-b\in Q,ab\in Q\mathrm{.}$$

Σημείωση σύμβασης. Σε ορισμένα συγγράμματα ο όρος «υποδακτύλιος» δεν απαιτεί κοινό $1$ με τον $R$. Εδώ υιοθετείται η εκδοχή με κοινό μοναδιαίο.

Παράδειγμα

Στον δακτύλιο $R=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ με πράξεις

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d),\qquad (a,b)\cdot(c,d)=(ac,\,bd),$$

το διαγώνιο υποσύνολο

$$D=\{(a,a)\mid a\in \mathbb{Z}\}$$

είναι υποδακτύλιος: περιέχει τα $(0,0)$ και $(1,1)$ και είναι κλειστό ως προς πρόσθεση, προσθετικό αντίστροφο και πολλαπλασιασμό.

Αντιπαράδειγμα (δακτύλιος μέσα σε $R$ που δεν είναι υποδακτύλιος με κοινό $1$)

Ας είναι $R$ αντιμεταθετικός δακτύλιος με ιδεμοειδές στοιχείο $i\notin\{0,1\}$ και $i^2=i$. Το κύριο ιδεώδες

$$I=Ri=\{bi\mid b\in R\}$$

είναι δακτύλιος με μοναδιαίο το $i$ (εφόσον $i\cdot bi=bi$), αλλά δεν είναι υποδακτύλιος του $R$ με κοινό $1$, επειδή γενικά δεν περιέχει το $1$ του $R$. Αν ίσχυε $1\in I$, θα υπήρχε $j\in R$ με $ij=1$, που θα οδηγούσε στο άτοπο $i=1$.

Συμπέρασμα

Υποδακτύλιος με κοινό $1$ είναι υποσύνολο του $R$ που παραμένει δακτύλιος με τις ίδιες πράξεις και περιλαμβάνει το $1$. Ένας δακτύλιος μπορεί να ενέχεται μέσα σε άλλον (όπως ένα ιδεώδες), αλλά αν έχει διαφορετικό μοναδιαίο, δεν είναι υποδακτύλιος με την παρούσα σύμβαση.