Το Θεώρημα του Surányi: Πώς να Εκφράσεις Κάθε Ακέραιο με Τετράγωνα

Το θεώρημα του Surányi διατυπώνει έναν ασυνήθιστο αλλά ισχυρό ισχυρισμό: κάθε ακέραιος $N$ μπορεί να γραφεί ως:

$$N=\lfloor n\alpha \rfloor +\lfloor m\alpha \rfloor$$

για κάποιους ακέραιους $n$, $m$ και κατάλληλο πραγματικό $\alpha$.

Αυτού του είδους η έκφραση, που συνδυάζει ακέραιες στρογγυλοποιήσεις, έχει ενδιαφέρον σε θεωρητική αριθμητική, ειδικά σε προβλήματα ομοιότητας και διαμόρφωσης ακολουθιών.

---

2. Απόδειξη με Επαγωγή

Η απόδειξη ακολουθεί την καθιερωμένη τεχνική της διαβαθμισμένης επαγωγής:

1. Βασική περίπτωση: Ελέγχουμε ότι το θεώρημα ισχύει για τους πρώτους τέσσερις θετικούς ακέραιους.

2. Επαγωγική υπόθεση: Υποθέτουμε ότι ισχύει για κάποια τιμή $k$.

3. Επαγωγικό βήμα: Αποδεικνύουμε ότι τότε ο ακέραιος $k + 4$ ικανοποιεί επίσης τη μορφή $\lfloor n\alpha \rfloor + \lfloor m\alpha \rfloor$.

4. Αυτή η επαγωγική λογική μας επιτρέπει να καλύψουμε όλους τους θετικούς ακέραιους διαδοχικά, ολοκληρώνοντας την απόδειξη.

---

3. Σημαντικά Τεκμηριωτικά Πεδία

• Το θεώρημα αναφέρεται στην ιστοσελίδα PlanetMath με τίτλο Surányi’s theorem PlanetMath+2Dirzon+2.

• Το classification MSC (11A99) υποδηλώνει ότι το θεώρημα ανήκει σε θέματα θεωρίας αριθμών και συνακόλουθων θετικών συνδυασμών PlanetMath+1.

---

Συμπέρασμα

Το θεώρημα του Surányi είναι ένα ενδιαφέρον παράδειγμα μαθηματικής δομής όπου αξιοποιείται η στρογγυλοποίηση (μέσω γραμμών τύπου $\lfloor n\alpha \rfloor$) για να φτάσουμε σε έκφραση κάθε ακεραίου ως άθροισμα δύο τέτοιων όρων. Η χρήση επαγωγής με βήμα 4 είναι αρκετά ευφυής και κομψή από μαθηματική πλευρά.