[78-79] - Algebraic Inequalities from and for Math Contests

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $abc \ge 1$. Να αποδείξετε ότι: \[ \frac{a}{2a+bc} + \frac{b}{2b+ca} + \frac{c}{2c+ab} \le 1. \] Proposed by Adrian Andreescu, Dallas, USA 

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a+b+c=1$. Να αποδείξετε ότι: \[ \frac{ab+1}{a+b} + \frac{bc+1}{b+c} + \frac{ca+1}{c+a} \ge \sqrt{6\left(1-ab-bc-ca\right)} + 3. \] Proposed by Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam