Σφαιρική Γεωμετρία: βασικές έννοιες και τύποι

Ορισμός

Η σφαιρική γεωμετρία μελετά σχήματα στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Ως «ευθείες» χρησιμοποιούνται τα τόξα μέγιστων κύκλων (π.χ. ισημερινός, μεσημβρινοί), επειδή αποτελούν τις συντομότερες διαδρομές στην επιφάνεια.

Βασικές διαφορές από την ευκλείδεια γεωμετρία

• Παράλληλες: δεν υπάρχουν∙ δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνονται σε δύο αντίποδα σημεία.

• Γωνίες τριγώνου: για σφαιρικό τρίγωνο με γωνίες $\alpha,\beta,\gamma$ ισχύει $\alpha+\beta+\gamma>\pi$.
  Το γωνιακό πλεόνασμα $E=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ ικανοποιεί

  $$\text{Εμβαδόν =}{R}^{2}E(R:\text{ ακτίνα σφαίρας})\mathrm{.}$$

• Συντομότερες αποστάσεις: είναι τόξα μέγιστων κύκλων, όχι ευθείες του επιπέδου.

Υπολογισμοί σε σφαίρα ακτίνας $R$

Απόσταση δύο σημείων με γεωγρ. πλάτη $\varphi_1,\varphi_2$ και μήκη $\lambda_1,\lambda_2$:

$$\cos (\mathrm{\Delta }\sigma )=\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2+\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2\cos ({\lambda }_2-{\lambda }_1),$$

όπου $\Delta\sigma$ η κεντρική γωνία. Η απόσταση κατά μήκος της σφαίρας είναι $d=R\,\Delta\sigma$.

Σφαιρικός νόμος συνημιτόνου για τρίγωνο με πλευρές (κεντρικές γωνίες) $a,b,c$ και απέναντι γωνίες $\alpha,\beta,\gamma$:

$$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \mathrm{.}$$

Σε ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ($\gamma=90^\circ$): $\ \cos c=\cos a\,\cos b$.

Ενδεικτικές παρατηρήσεις

• Υπάρχουν τρίγωνα με τρεις ορθές γωνίες (π.χ. κορυφές στον Βόρειο Πόλο και σε δύο σημεία του Ισημερινού με διαφορά μήκους $90^\circ$).

• Καμία χαρτογραφική προβολή δεν διατηρεί ταυτόχρονα όλα τα γεωμετρικά μεγέθη∙ εμφανίζονται αναγκαστικές παραμορφώσεις.