Μια Εκπληκτική Γεωμετρική Τεχνική για τον Υπολογισμό Ολοκληρωμάτων

Οι φοιτητές μαθηματικών αποκτούν συνήθως μια «εργαλειοθήκη» γεμάτη με τεχνικές ολοκλήρωσης: ολοκλήρωση κατά μέρη, αντικατάσταση, μετασχηματισμοί Laplace και Fourier, αλλά και διάφορα πιο προχωρημένα «κόλπα» όπως αυτά του Feynman.

Η τεχνική που παρουσιάζουμε εδώ, όμως, είναι κάτι περισσότερο από ένα ακόμη εργαλείο. Πρόκειται για έναν μετασχηματισμό που επιτρέπει να περάσουμε από ένα είδος ολοκληρωμάτων σε ένα εντελώς διαφορετικό — ένα «λεξικό» που μεταφράζει ανάμεσα σε δύο κόσμους. Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργεί, θα χρειαστούμε τις πολικές συντεταγμένες.

---

Πολικές συντεταγμένες

Στο καρτεσιανό σύστημα, ένα σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες $(x,y)$. Εναλλακτικά, μπορούμε να το ορίσουμε με την απόσταση από την αρχή των αξόνων και τη γωνία από τον άξονα $x$. Δηλαδή:

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta \mathrm{.}$$

Αυτός ο μετασχηματισμός είναι το «κλειδί» για την τεχνική μας.

---

Η βασική ιδέα

Σκεφτείτε ολοκληρώματα της μορφής:

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x^2)dx\mathrm{.}$$

Μπορούμε να τα συνδέσουμε με ολοκληρώματα δύο διαστάσεων:

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}g(x^2+y^2)dxdy\mathrm{.}$$

Σε πολικές συντεταγμένες αυτό γίνεται:

$$={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(r^2)rdrd\theta \mathrm{.}$$

Το ολοκλήρωμα ως προς $\theta$ δίνει απλά έναν παράγοντα $2\pi$:

$$=2\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(r^2)rdr\mathrm{.}$$

---

Αλλαγή μεταβλητής

Θέτουμε $u = r^2 \Rightarrow du = 2r\,dr$. Τότε:

$$2\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(r^2)rdr=\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(u)du\mathrm{.}$$

Κι έτσι προκύπτει ο όμορφος τύπος:

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}g(x^2+y^2)dxdy=\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(u)du\mathrm{.}$$

---

Παράδειγμα: Το Γκαουσιανό ολοκλήρωμα

Θέλουμε:

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx\mathrm{.}$$

Σκεφτόμαστε το τετράγωνο του ολοκληρώματος:

$$I^2={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy\mathrm{.}$$

Με βάση τον τύπο:

$$I^2=\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}du=\pi \mathrm{.}$$

Άρα:

$$I = \sqrt{\pi}.$$Έτσι, το περίφημο γκαουσιανό ολοκλήρωμα λύνεται με μια πανέμορφη γεωμετρική τεχνική.

---

✅ Αυτή είναι η «εκπληκτική τεχνική» που επιτρέπει να μετατρέπουμε ολοκληρώματα μιας διάστασης σε ολοκληρώματα δύο διαστάσεων και να τα αξιοποιούμε μέσω συμμετρίας και απλών αλλαγών μεταβλητών. Η γεωμετρία γίνεται σύμμαχος της ανάλυσης με τρόπο πραγματικά κομψό.