Ένα ομογενές πολυώνυμο (homogeneous polynomial) είναι ένα πολυώνυμο όπου όλοι οι όροι του έχουν τον ίδιο συνολικό βαθμό.
.png)
Ορισμός
Έστω πολυώνυμο σε πολλές μεταβλητές:
\[ P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum a_{i_1 i_2 \ldots i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n} \]
Το πολυώνυμο λέγεται ομογενές βαθμού \(d\) αν σε κάθε όρο ισχύει:
\[ i_1 + i_2 + \cdots + i_n = d \]
Παράδειγμα:
\[ P(x, y) = x^3 + 2x^2y + xy^2 + y^3 \]
Είναι ομογενές βαθμού 3, αφού κάθε όρος έχει συνολικό εκθέτη \(3\).
Ιδιότητα Ομοιογένειας
Ένα ομογενές πολυώνυμο \(P\) βαθμού \(d\) ικανοποιεί την ιδιότητα:
\[ P(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^d \cdot P(x_1, x_2, \ldots, x_n) \]
Αυτό είναι χαρακτηριστικό των ομοιογενών συναρτήσεων και είναι ιδιαίτερα σημαντικό στη προβολική (projective) γεωμετρία.
Αντιπαραδείγματα
Το πολυώνυμο:
\[ Q(x, y) = x^2 + xy + y \]
δεν είναι ομογενές, αφού οι όροι έχουν βαθμούς 2, 2 και 1 αντίστοιχα.
Διάσπαση σε Ομογενείς Συνιστώσες
Κάθε πολυώνυμο μπορεί να διασπαστεί σε άθροισμα ομογενών πολυωνύμων:
\[ P(x_1, \ldots, x_n) = P_0 + P_1 + \cdots + P_d \]
όπου κάθε \(P_k\) είναι ομογενές βαθμού \(k\). Αυτή η διάσπαση είναι μοναδική.
Ομογενοποίηση (Homogenization)
Ένα μη ομογενές πολυώνυμο μπορεί να μετατραπεί σε ομογενές με την εισαγωγή νέας μεταβλητής \(x_0\), ως εξής:
\[ P(x, y) = x^2 + y \quad \rightarrow \quad P^h(x_0, x, y) = x^2 + x_0 y \]
Τώρα, κάθε όρος έχει συνολικό βαθμό 2.
Γενικά, η ομογενοποίηση ενός πολυωνύμου βαθμού \(d\) γίνεται μέσω του τύπου:
\[ P^h(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^d \cdot P\left(\frac{x_1}{x_0}, \ldots, \frac{x_n}{x_0} \right) \]
Ψευδο-ομογενή Πολυώνυμα (Quasi-Homogeneous)
Γενικεύοντας, λέμε ότι ένα πολυώνυμο είναι ψευδο-ομογενές (quasi-homogeneous) αν ισχύει:
\[ f(\lambda^{w_1}x_1, \ldots, \lambda^{w_n}x_n) = \lambda^w f(x_1, \ldots, x_n) \]
όπου τα \(w_1, \ldots, w_n\) είναι ακέραια βάρη. (Ένα πολυώνυμο λέγεται ψευδο-ομογενές αν μπορούμε να αποδώσουμε βάρη (συνήθως ακέραιους) στις μεταβλητές, ώστε κάθε όρος να έχει το ίδιο συνολικό βάρος.)
Παράδειγμα: \[ f(x, y) = x^2 + y^3 \] είναι ψευδο-ομογενές με βάρη \(w_x = 3\), \(w_y = 2\), αφού: \[ f(\lambda^3 x, \lambda^2 y) = \lambda^6 f(x, y) \]
Εφαρμογές
- Θεμελιώδης ρόλος στην projective geometry
- Χρήσιμα στην αλγεβρική γεωμετρία και συστημική θεωρία πολυωνύμων
- Εμφανίζονται σε συμμετρικές εξισώσεις και μορφές
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου