$$ S: \quad z = 3a(x^2 - y^2) - (x^3 + y^3), \quad a > 0 $$
Η επιφάνεια αυτή περιέχει την ευθεία:
$$ \ell: \; (x,-x,0), \quad x \in \mathbb{R}. $$
Εκφώνηση
Να αποδείξετε ότι κάθε επίπεδο που περνά από την ευθεία ℓ τέμνει την επιφάνεια S σε μία έλλειψη.
Λύση
Κάθε επίπεδο που περιέχει την ℓ έχει μορφή:
$$ z = \lambda(x+y), \quad \lambda \in \mathbb{R}. $$
Η εξίσωση τομής με την επιφάνεια είναι:
$$ 3a(x^2 - y^2) - (x^3 + y^3) = \lambda(x+y). $$
Θέτουμε νέες μεταβλητές:
$$ u = x+y, \quad v = x-y. $$
Ισχύει:
$$ x^2 - y^2 = uv, \quad x^3 + y^3 = \tfrac{1}{4}u(u^2 + 3v^2). $$
Έτσι η εξίσωση γίνεται:
$$ 3auv - \tfrac{1}{4}u(u^2+3v^2) = \lambda u. $$
Για \( u \neq 0 \):
$$ u^2 + 3v^2 - 12av + 4\lambda = 0. $$
Ολοκληρώνοντας τετράγωνο ως προς \(v\):
$$ u^2 + 3(v-2a)^2 = 12a^2 - 4\lambda. $$
Πρόκειται για εξίσωση έλλειψης, εφόσον \( 12a^2 - 4\lambda > 0 \).
Συμπέρασμα
Κάθε επίπεδο που περνά από την ευθεία ℓ τέμνει την επιφάνεια του Crum Brown σε μία έλλειψη. Ένα όμορφο παράδειγμα όπου η ανάλυση αποκαλύπτει την κομψότητα της γεωμετρίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου