Έστω τρίγωνο $ABC$ και $BD$ η διχοτόμος του. Η ευθεία $BD$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $Ω$ του τριγώνου στο σημείο $E$. Αν ο κύκλος $ω$ με διάμετρο $DE$ τέμνει τον κύκλο $Ω$ στο σημείο $F$, να αποδειχθεί ότι $BF$ είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $ABC$.
All-Russian Mathematical Olympiad 2009
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Είναι τόξο AE=τόξο CE, αφού η BE διχοτόμος της γωνίας ABC, άρα θα είναι και AE=CE. Αν G είναι το μέσο της πλευράς AC, τότε τα τρίγωνα AEG και CEG είναι ίσα, διότι έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία. Επομένως γωνία AGE=γωνία CGE=π/2, δηλαδή γωνία DGE=π/2, που σημαίνει ότι το G ανήκει στον κύκλο ω. Έστω ότι η BF τέμνει τον κύκλο ω και στο H. Είναι γωνία EFH=γωνία BFE=γωνία BAE=(γωνία BAC)+(γωνία CAE)=(γωνία BAC)+(γωνία CBE)=(γωνία BAC)+(γωνία ABC)/2, οπότε γωνία EDH=π-(γωνία EFH)=π-(γωνία BAC)-(γωνία ABC)/2. Επίσης, γωνία EDG=γωνία ADB=π-(γωνία BAD)-(γωνία ABD)=π-(γωνία BAC)-(γωνία ABC)/2, επομένως προκύπτει ότι γωνία EDH=γωνία EDG. Τέλος, γωνία DHG=γωνία DEG=π/2-(γωνία EDG) και γωνία DGH=γωνία DEH=π/2-(γωνία EDH), άρα γωνία DHG=γωνία DGH. Έστω ότι οι DE και GH τέμνονται στο I. Τα τρίγωνα DHI και DGI επομένως έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε θα είναι και γωνία DIH=γωνία DIG=π/2. Άρα θα είναι ίσα, αφού έχουν και την DI κοινή, επομένως θα είναι και HI=GI. Προκύπτει τώρα ότι και τα τρίγωνα BHI και BGI είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια και έχουν την πλευρά BI κοινή, οπότε γωνία GBI=γωνία HBI. Θεωρούμε τώρα τα ύψη AJ και CK του τριγώνου ABC, καθώς και την τομή L των BF, JK. Το τετράπλευρο ACJK είναι εγγράψιμο σε κύκλο, διότι γωνία AJC=γωνία AKC=π/2, άρα γωνία BJK=γωνία CAJ=γωνία BAC. Επίσης, γωνία JBK=γωνία ABC. Τα τρίγωνα BJK και ABC δηλαδή έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, επομένως είναι όμοια και BJ/AB=JK/AC, δηλαδή BJ/AB=(JK/2)/(AC/2), ή BJ/AB=(JK/2)/AG. Είναι τώρα γωνία JBL=(γωνία EBJ)+(γωνία EBL)=(γωνία ABD)+(γωνία DBG)=γωνία ABG, οπότε και τα τρίγωνα BJL και ABG θα είναι όμοια, άρα έχουμε BJ/AB=JL/AG. Επομένως καταλήγουμε ότι JL=JK/2, που σημαίνει ότι το L είναι το μέσο της JK και η BF είναι διάμεσος στο τρίγωνο BJK, άρα και συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC.
ΑπάντησηΔιαγραφή