Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [23]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με $f', g'$ συνεχείς στο $\mathbb{R}$ όπου ισχύουν:

$f'(x) \neq g'(x)$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$ 

και

$\quad \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - g(x) + x}{x} = 2025.$

Δ1) Να δείξετε ότι 

$f'(0) - g'(0) = 2024$. 

Δ2) Να δείξετε ότι 

• για $x > 0$ είναι $f(x) > g(x)$ 
• για $x < 0$ είναι $f(x) < g(x)$ 

και να λύσετε την ανίσωση:$$f(\sqrt{x}) - f(\eta \mu x) > g(\sqrt{x}) - g(\eta \mu x), \quad x \in [0, +\infty).$$

Δ3) Να βρείτε $\alpha \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει:$$f(\alpha) + \int_{f(\alpha)}^{g(\alpha)} \dfrac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} dx = \int_{f(\alpha)}^{g(\alpha)} (f(x) - g(x)) dx + g(\alpha).$$

Δ4) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στις συναρτήσεις 

$f_1(x) = e^{\sqrt{x}} - 1 \quad, \quad f_2(x) = \eta \mu x \quad, \quad x = \pi.$